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| Aufgabe | | Bitte geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung aus dem Graphen an. |
Ich soll anhand eines Graphen eine möglichen Funktionsgleichung bestimmen, Dazu meine Analyse der Gleichung:
1) Symmtrie:Punktsymmetrisch: Grad der Funktion ist ungerade
2) Verhalten im Unendlichen:+-unendlich: Vorfaktor vor dem höchsten Exponent ist positiv
3) Nullstelle:x=1,82
4) Extremstelle: Tiefpunkt (-1,58/1,4); Hochpunkt (0,23/1,88)
5) Wendepunkt: Xw(-0,66//1,62)
6) Schnittpunkt mit der y-Achse: (0/1,8)
7) Weitere Punkte:/
Da ein Wendepunkt vorhanden ist, kann die Funktion nur noch ^3 sein, also folgt der Ansatz: [mm] a(x-1,82)^3
[/mm]
allerdings, wenn ich die Funktion in mein PC eingebe, zeigt das eine ganze anderen Graphen, meine Frage ist, wie soll ich den Funktionsterm des Graphen aus meiner Analyse ermitteln?
Danke schon mal im Voraus!
Wenn ihr gute Links oder Bücher kennt,die diese Problematik der Funktionsbestimmung behandeln dann bitte ich euch die Webseite zu vermerken,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gentelman!
> Da ein Wendepunkt vorhanden ist, kann die Funktion nur noch
> ^3 sein, also folgt der Ansatz: [mm]a(x-1,82)^3[/mm]
Das stimmt so nicht. Dieser x-Wert ist ja keine dreifache Nullstelle, sondern nur eine Nullstelle der 2. Ableitung.
Es gilt allgemein:
$$f(x) \ = \ [mm] a*x^3+c*x+d$$
[/mm]
Zudem widersprechen sich die Punkte (1) und (3). ODer mit "Punktsymmetrie" kann nicht der Ursprung als Symmetriepunkt gemeint sein.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo, ja aber wie soll ich die Funktionsgleichung bestimmen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 08.06.2010 | | Autor: | Adamantin |
Wie wäre es, wenn du uns erstmal die genaue Aufgabe gibst? Wie sollen wir ohne Graphen oder genauen AUfgabentext dir helfen können, wenn vllt schon in deinen Schlussfolgerungen fehler sind?! ;)
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Ok, ich lade mal den Graphen hoch:[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie zu dem skizzierten Schaubild einen möglichen Funktionsterm.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Bitte geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung aus dem
> Graphen an.
> Ich soll anhand eines Graphen eine möglichen
> Funktionsgleichung bestimmen, Dazu meine Analyse der
> Gleichung:
>
> 1) Symmtrie:Punktsymmetrisch: Grad der Funktion ist
> ungerade
> 2) Verhalten im Unendlichen:+-unendlich: Vorfaktor vor dem
> höchsten Exponent ist positiv
> 3) Nullstelle:x=1,82
> 4) Extremstelle: Tiefpunkt (-1,58/1,4); Hochpunkt
> (0,23/1,88)
> 5) Wendepunkt: Xw(-0,66//1,62)
> 6) Schnittpunkt mit der y-Achse: (0/1,8)
> 7) Weitere Punkte:/
Hallo,
ich hab' jetzt nicht geprüft, ob Du die Punkte richtig aus dem Graphen abgelesen hast.
> Da ein Wendepunkt vorhanden ist, kann die Funktion nur noch ^3 sein.
Nein, "nur noch" stimmt nicht.
Du weißt jetzt, daß sie mindestens vom Grad 3 ist,
machst also mal einen Ansatz für eine Funktion dritten Grades.
> also folgt der Ansatz: [mm]a(x-1,82)^3[/mm]
Der Ansatz ist nicht richtig, es steckt aber eine Erkenntnis drin:
da bei x=1.82 eine Nullstelle liegt,
hat das gesuchte Polynom die Gestalt
[mm] p(x)=A(x-1.82)*(Polynom\quad [/mm] vom [mm] \quad Grad\quad [/mm] 2)
[mm] =A(x-1.82)(x^2+Bx+C).
[/mm]
Hiermit könntest Du jetzt weiterarbeiten - aber vielleicht ist der Ansatz [mm] p(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] bequemer wegen der Ableitungen.
Versuch mal, wie Du damit hinkommst - gerechnet hab' ich noch nichts.
Gruß v. Angela
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Angela hat ja schon vieles gesagt, hast du denn genaue Werte oder alle abgelesen?
Symmetrie kann nicht vorliegen, denn Punktsymmetrie gilt nur für den Ursprung und durch den geht f(x) nicht. Außerdem ist der graph nicht mal punktsymmetrisch auf der y-Achse, denn der HP scheint mir irgendwo bei 0,3-0,5 zu liegen, während der TP bei -1,0 - -1,3 liegt, jedenfalls nicht gleichweit entfernt von der y-Achse. Aber nur mit dem Graph allein könnte ich auch keine Gleichung aufstellen, es sei, die Punkte sind zusätzlich gegeben oder man soll bewusst ablesen
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Hallo,
ich meine, daß der Fragende nirgends gesagt hat, daß es sich um Punktsymmetrie zum Ursprung handelt.
Der Graph sieht doch recht punktsymmetrisch aus. (?)
(Symmetriepunkt ca. (-1|1.5) ), zwischen den Extrema.)
Die hat er genutzt für die Feststellung, daß das Polynom von ungeradem Grad ist - natürlich hätte man diese Erkenntnis auch mithilfe des Verhaltens des Graphen gegen [mm] \pm [/mm] gewinnen können.
Falsch wäre es aber, aus der Punktsymmetrie zu dem vom Ursprung verschiedenen Punkt zu schließen, daß nur ungerade Potenzen von x vorkommen.
Gruß v. Angela
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Ja man soll "nur" von dem Graphen den Funktionsterm bestimmen,
bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass die Funktion punksymmetrisch ist, daraus folgt, dass die Funktion ungerade ist,
die Werte habe ich selbst aus dem Graphen entnommen,
Ich habe jetzt versucht einen Ansatz zu schreiben:
Ansatz: f(x) [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] +cx + d
f(x) [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] +cx + d
[mm] f'(x)=3ax^2 [/mm] + [mm] 2b^2 [/mm] + c
f'(0,23)=0 = 0,1587a + 0,46b + c
f'(-1,58)=0 =-7,4892a - 3,16b + c
0,1587a + 0,46b + c
-7,4892a - 3,16b + c |(-)
_________________
7,6479a + 3,62b = 0
f(0,23) = 0,012167a + 0,0529b + 0,23c + d = 1,88
f(-1,58)=-3,944312a - 2,4964b - 1,58c + d = 1,4 |(-)
____________________________________________
3,956479a + 2,5493b + 1,81c = 0,48
f(0)=1,8 = d
so ich habe jetzt d ermittelt und die zwei Gleichungen aufgestellt, leider weiß ich nicht weiter, kann mir vlt einer weiter-helfen?
Danke im Voraus!
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Hallo gentelman!
> bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass die Funktion
> punksymmetrisch ist, daraus folgt, dass die Funktion
> ungerade ist,
Das stimmt so nicht (wie Dir bereits mehrfach geschrieben wurde!).
Eine "ungerade Funktion" ergibt sich lediglich bei Punktsymmetrie zum Ursprung, was hier offensichtlich nicht gilt.
Du hast aber bedingt Recht: diese Funktion ist punktsymmetrisch: und zwar zu ihrem Wendepunkt (der nicht im Ursprung liegt)..
> Ich habe jetzt versucht einen Ansatz zu schreiben:
>
> Ansatz: f(x) [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] +cx + d
>
> f(x) [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] +cx + d
> [mm]f'(x)=3ax^2[/mm] + [mm]2b^2[/mm] + c
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $f'(x) \ = \ [mm] 3a*x^2+2b*x+c$
[/mm]
> f'(0,23)=0 = 0,1587a + 0,46b + c
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f'(-1,58)=0 =-7,4892a - 3,16b + c
Das erste Minus ist falsch!
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, das macht Sinn, dass die Funktion nicht zum Ursprung punktsymmetrisch ist, aber ungerade ist sie ja trotzdem;
meine Frage an Roadrunner; Bemerkung: "Das erste Minus ist falsch!"
In der ersten Ableitung ist kein minus Zeichen, wo hast Du da den Fehler entdeckt?
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo gentelman!
> meine Frage an Roadrunner; Bemerkung: "Das erste Minus ist
> falsch!"
> In der ersten Ableitung ist kein minus Zeichen, wo hast Du
> da den Fehler entdeckt?
Du musst schon darauf achten, wo genau diese Korrekturbemerkung steht. Diese steht unmittelbar hinter der Zeile mit $f'(-1{,}58) \ = \ ...$ .
Und genau dort ist auch der erwähnte Fehler.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Mi 09.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo und guten Abend,
da stimmt was nicht:
> > bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass die Funktion
> > punksymmetrisch ist, daraus folgt, dass die Funktion
> > ungerade ist,
>
> Das stimmt so nicht (wie Dir bereits mehrfach geschrieben
> wurde!).
Zu Unrecht. Bei Polynomfunktionen (und wer sagt eigentlich, dass es sich hier um eine solche handelt?) ist der Schluss sehr wohl zulässig. Ungerade Polynome können nicht achsensymmetrisch, gerade Polynome nicht punktsymmetrisch sein!
> Eine "ungerade Funktion" ergibt sich lediglich bei
> Punktsymmetrie zum Ursprung, was hier offensichtlich nicht
> gilt.
Nö.
Nehmen wir mal eine langweilige Funktion: [mm] \overline{y}=f(\overline{x})=(\overline{x}-1)x(\overline{x}+1)=\overline{x}^3-\overline{x}
[/mm]
Die verschieben wir jetzt um je zwei Einheiten nach rechts und nach oben: [mm] x=\overline{x}+2, y=\overline{y}+2
[/mm]
Dann ist [mm] y=f(x)=(x-3)(x-2)(x-1)-2=x^3-6x^2+11x-8
[/mm]
Diese Funktion ist im neuen Koordinatensystem genauso punktsymmetrisch wie die ursprüngliche, nun aber zum Punkt (2;2), der halt der vorige Ursprung ist und wie der Rest auch verschoben wurde.
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Der Ansatz einer Polynomfunktion dritten Grades ist hier ohne Zweifel der einfachste. Dennoch wäre genauso jeder höhere ungerade Grad denkbar, und sicher auch eine Kombination von verschiedenen [mm] \sin{ax}, [/mm] um nur eine der vielen anderen Möglichkeiten anzudeuten.
Grüße
reverend
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Hallo,
hier im Thread gibt es wohl kleine Verwirrungen im Zusammenhang mit "ungerade":
es wird "ungerades Polynom" mal im Sinne von "ungerade Funktion", also Funktion, welche punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verwendet,
und mal im Sinne von "Polynom ungeraden Grades".
Die ersteren Polynome sind die, in denen nur ungerade Potenzen vorkommen, und soweit ich weiß, entspricht dies auch der Def. "ungerades Polynom".
Bei zweiteren ist der Leitkoeffizient ungerade und der Rest wurscht.
Und wenn Punktsymmetrie eines Polynoms (zu welchem Punkt auch immer) vorliegt, dann muß es sich um ein Polynom ungeraden Grades handeln.
Gruß v. Angela
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