Funktionsgleichung 2. Grades < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Graph [mm] G_f [/mm] der in [mm] D_f =\IR [/mm] definierten Funktion 2. Grades schneidet die x-Achse an den Stellen [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=4 [/mm] und besitzt im Ursprung die Steigung 2.
a.) Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x)!
b.) Zeigen Sie, dass die Gerade $ g: y= -x + [mm] \bruch{9}{2} [/mm] $ den Graphen [mm] G_f [/mm] berührt, und bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunkts! |
Hallo!
wie bekommt man denn aus diesen 2 Nullstellen und dem Anstieg eine Funktion in der Form [mm] $y=ax^2+bx+c$ [/mm] ?
Ich vermute mal da sind bestimmt wieder Ableitungen im Spiel
deswegen hier erstmal die ersten beiden Ableitungen:
$f'(x)= 2ax+b$
$f''(x)=2a$
Leider ist mir noch keine gute Idee gekommen wie man die Funktionsgleichung aufstellen könnte. Besonders wie man mit dem Anstieg vorgeht - wär ganz nett wenn ihr mir mal helfen könntet.
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Do 12.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du gehst schon völlig richtig vor:
es gilt
[mm] f(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
f'(x)=2ax+b wie du richtig sagtest.
Dann brauchst du drei Bedingungen, um die Gleichung aufstellen zu können.
Einmal
f(0)=0 und f(4)=0, denn an den Stellen schneidet die Funktion ja die x-Achse (also ist y=0).
Die Steigung einer Funktion lässt sich ja mit der Ableitung ermillten.
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=0 sei 2:
f'(0)=2
Nun musst du das nur noch einsetzten, und du kannst nach a,b und c auflösen.
VIele Grüße,
Kroni
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ahaa danke ging ja super schnell mit der Antwort
Würde dann die Funktionsgleichung [mm] $y=0,5x^2+2x$ [/mm] lauten ?
Das hab ich so gerechnet:
$f'(0)=2$
$2=2a [mm] \cdot [/mm] (0) + b$ (anstieg 2 und nullstelle 0 eingesetzt)
<=> b=2
[mm] $y=ax^2+bx+c$
[/mm]
$0=a [mm] \cdot (0)^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot [/mm] (0) + c$ (nullstelle 0 eingesetzt)
<=> c=0
[mm] $y=ax^2+bx+c$
[/mm]
$0=a [mm] \cdot (4)^2+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] (4) + 0 $ (nullstelle 4 eingesetzt)
<=> a=0,5
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 12.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo user291006!
Du hast fast alles richtig gerechnet. Allerdings hat sich ganz am Ende ein kleiner Fehler bei der Berechnung von $a_$ eingeschlichen.
Überprüfe dort mal das Vorzeichen ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Do 12.04.2007 | | Autor: | user291006 |
ja da muss natürlich ein minus vor 
Vielen Dank nochma
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