Funktionsfolge x^n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Di 23.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | [mm] f_n(x)=x^n [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]
pw. konvergenz mit
x [mm] \in [/mm] [0,1) mit f(x)=0
x=1 mit f(x)=1
Gesucht ist die gleichmäßige Konvergenz im Raum E=[0,1] |
Hallo alle zusammen
Vorweg - Ich weiß, eine sehr banale Funktion und Frage, aber die bereitet mir gerade Kopfzerbrechen...
Also die pw. Konvergenz habe ich gleich in die Angaben geschrieben, die ist so richtig. Nun für die gleichmäßige Konvergenz:
Ich habe gl. Konv. wenn:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (x^n [/mm] - f(x)|) = 0
wobei für x=1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (|1^n-1|) [/mm] = 0
somit habe ich in 1. gl. Konv.
für x=0 mit f(x)=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_E [/mm] (|0-0|)
somit sollte auch gl. Konv im Raum [0,1) stattfinden
Also habe ich gleichmäßige Konvergenz im Raum: E=[0,1]? (Ich befürchte, dem ist nicht so..)
Danke
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_n(x)=x^n[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1]
> pw. konvergenz mit
> x [mm]\in[/mm] [0,1) mit f(x)=0
> x=1 mit f(x)=1
>
> Gesucht ist die gleichmäßige Konvergenz im Raum E=[0,1]
> Hallo alle zusammen
>
> Vorweg - Ich weiß, eine sehr banale Funktion und Frage,
> aber die bereitet mir gerade Kopfzerbrechen...
>
> Also die pw. Konvergenz habe ich gleich in die Angaben
> geschrieben, die ist so richtig. Nun für die
> gleichmäßige Konvergenz:
>
> Ich habe gl. Konv. wenn:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (x^n[/mm] - f(x)|) = 0
>
> wobei für x=1
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (|1^n-1|)[/mm] = 0
> somit habe ich in 1. gl. Konv.
Unfug ! Glm. Konvergenz in einem einzigen Punkt ist völlig sinnlos !
>
> für x=0 mit f(x)=0
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E[/mm] (|0-0|)
> somit sollte auch gl. Konv im Raum [0,1) stattfinden
>
> Also habe ich gleichmäßige Konvergenz im Raum: E=[0,1]?
> (Ich befürchte, dem ist nicht so..)
Die Folge [mm] (f_n) [/mm] konv. auf [0,1] nicht gleichmäßig !
Betrachte mal [mm] $|f(1/\wurzel[n]{2})-f(1/\wurzel[n]{2})|$
[/mm]
Ich gebe Dir den guten Rat, mache Dich nochmal schlau, was glm. Konvergenz betrifft, denn ich habe den Eindruck, dass Du das nicht verstanden hast.
FRED
>
> Danke
> lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 23.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
War wohl etwas überstürzt geschrieben und gedacht.
Nun also für pw. konv. bin ich bis jetzt immer so vorgegangen (und mir ist nach kurzem durchblättern meiner Unterlagen die Sinnlosigkeit der Untersuchung bewusst geworden). Ich habe nun folgendes herausgefunden, die Funktion konv. nur gleichm. in E=[0,1)
Die Vorgehensweise:
Für meinen Bereich x [mm] \in [/mm] [0,1] schaue ich mir folgendes an:
[mm] \rho [/mm] (x)= [mm] |x^n [/mm] - 0|
ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (\rho [/mm] (x)) = 0 so habe ich gl. konv.
Ableiten und Module entfernen, dabei sicherstellen dass [mm] x^n [/mm] > 0 ist
[mm] \rho'(x)= nx^{n-1}=0
[/mm]
(n-1)ln(x)=0
Lösung:
n=1
x=1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (\rho [/mm] (1)) [mm] \not= [/mm] 0
Wenn ich nun ein "a" definiere welches <1 ist aber >0 so geht dieses mit limes von [mm] \rho [/mm] gegen 0 -> gl. konv. gefunden
Das dürfte nun stimmen. Einwände?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> War wohl etwas überstürzt geschrieben und gedacht.
>
> Nun also für pw. konv. bin ich bis jetzt immer so
> vorgegangen (und mir ist nach kurzem durchblättern meiner
> Unterlagen die Sinnlosigkeit der Untersuchung bewusst
> geworden). Ich habe nun folgendes herausgefunden, die
> Funktion konv. nur gleichm. in E=[0,1)
Das ist falsch !
Wen das richtig wäre, so müßte gelten
$ [mm] |f(1/\wurzel[n]{2})-f(1/\wurzel[n]{2})| [/mm] <1/3$ für jedes n
Das ist aber nicht so, denn $ [mm] |f(1/\wurzel[n]{2})-f(1/\wurzel[n]{2})| [/mm] =1/2$ für jedes n
>
> Die Vorgehensweise:
>
> Für meinen Bereich x [mm]\in[/mm] [0,1] schaue ich mir folgendes
> an:
>
> [mm]\rho[/mm] (x)= [mm]|x^n[/mm] - 0|
>
> ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (\rho[/mm] (x)) = 0 so habe
> ich gl. konv.
soweit O.K.
>
> Ableiten und Module entfernen
Was ist los ????????????????????????
, dabei sicherstellen dass [mm]x^n[/mm]
> > 0 ist
??????????????????????????????????
>
> [mm]\rho'(x)= nx^{n-1}=0[/mm]
> (n-1)ln(x)=0
> Lösung:
> n=1
> x=1
Was ist das für ein Blödsinn ?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (\rho[/mm] (1)) [mm]\not=[/mm] 0
????????????????????????
>
> Wenn ich nun ein "a" definiere welches <1 ist aber >0 so
> geht dieses mit limes von [mm]\rho[/mm] gegen 0 -> gl. konv.
> gefunden
Wenn Du meinst, dass [mm] (f_n) [/mm] auf [0,a] mit 0<a<1 glm. konvergiert, so stimmt das.
Dennoch konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1) nicht glm.
>
> Das dürfte nun stimmen. Einwände?
S.o.
FRED
>
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:47 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Zuggel |
> >
> > Die Vorgehensweise:
> >
> > Für meinen Bereich x [mm]\in[/mm] [0,1] schaue ich mir folgendes
> > an:
> >
> > [mm]\rho[/mm] (x)= [mm]|x^n[/mm] - 0|
> >
> > ist
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (\rho[/mm] (x)) = 0 so
> habe
> > ich gl. konv.
>
> soweit O.K.
>
>
> >
> > Ableiten und Module entfernen
>
> Was ist los ????????????????????????
>
> , dabei sicherstellen dass [mm]x^n[/mm]
> > > 0 ist
>
>
>
> ??????????????????????????????????
> >
> > [mm]\rho'(x)= nx^{n-1}=0[/mm]
> > (n-1)ln(x)=0
> > Lösung:
> > n=1
> > x=1
>
> Was ist das für ein Blödsinn ?
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_E (\rho[/mm] (1)) [mm]\not=[/mm] 0
>
>
> ????????????????????????
> >
> > Wenn ich nun ein "a" definiere welches <1 ist aber >0 so
> > geht dieses mit limes von [mm]\rho[/mm] gegen 0 -> gl. konv.
> > gefunden
>
>
> Wenn Du meinst, dass [mm](f_n)[/mm] auf [0,a] mit 0<a<1 glm.
> konvergiert, so stimmt das.
Das war gemeint, jedoch frage ich mich wie ich auf diese Schlussfolgerung kommen kann, wenn der Part oben nicht stimmt.
Ich schildere nun jetzt alles nochmal von vorne und bitte um Verbesserung an den Stellen wo es happert, irgendwo wird der Denkfehler wohl liegen...
Nun also, [mm] \rho [/mm] haben wir im der Vorlesung immer mit den Betragsstrichen definiert, also ist [mm] \rho [/mm] = |g(x) - f(x)| wobei g(x) die jeweilige Funktion ist für einen Bereich und f(x) die Funktion gegen welche g(x) pw. konvergiert. So auch in unserer Definition der gleichmäßigen Konvergenz:
[mm] f,f_n [/mm] : E -> R
[mm] f_n [/mm] konv. gl. -> f
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d_e (f_n,f) [/mm] = 0
(während der Theorie-Vorlesungen wurde uns das immer mit [mm] d_e [/mm] erklärt, während der Übungsstunden mit [mm] \rho [/mm] (nur um den kleinen Sprung hier klarzustellen)
[mm] d_e [/mm] = [mm] sup_E [/mm] {|g(x)-f(x)|,x [mm] \in [/mm] E}
Meine allgemeine Vorgehensweise beim finden der gl. konv. von Serien war:
Finden der Orte wo es pw. Konvergenz gibt
in diesen Intervallen definierte ich [mm] \rho(x) [/mm] = |...|
Mir hat meine Professorin in der letzten E-Mail geschrieben: Bevor ich [mm] \rho [/mm] ableite und die Extremwerte suche, muss ich die Betragsstriche entfernen(weil ich ihr ein gerechnetes Beispiel geschickt hatte in welchem ich das nicht gemacht habe).
Dies mache ich, in dem ich sicherstelle, dass der Inhalt von |...| größer als 0 ist, also nicht negativ.
In diesem Fall ist [mm] x^n [/mm] im Raum [0,1] ja positiv, deshalb ist auch [mm] x^n [/mm] > 0.
Ich leite dann ab, setze die erste Ableitung gleich = 0
[mm] \rho [/mm] '(x)=0
Hier finde ich den Wert x_max
Dieser Wert x_max wird in [mm] \rho [/mm] eingesetzt und dann mache ich folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \rho(x_max)
[/mm]
= 0 -> gl. Konvergenz
[mm] \not= [/mm] -> Bereich einschränken
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 So 28.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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