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Hallo,
ich habe folgende Funktion gegeben
[mm] \bruch{|x-1|}{x^2} [/mm] und es gilt
[mm] \bruch{-x+1}{x^2} [/mm] für x<1
[mm] \bruch{x-1}{x^2} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 1
Als 1. Ableitungen bekomme ich
[mm] \bruch{x-2}{x^3} [/mm] und [mm] \bruch{-x+2}{x^3}
[/mm]
Ich soll nun die Monotonie bestimmen.
Also wann ist die 1. Ableitung größer bzw kleiner 0, da ich bei x=2 eine Nullstelle habe.
Muss ich nun für f'(x)> 0 auch die als 2. berechnete Ableitung benutzen und für f'(x) < 0 die erste?
Denn dann kann ich mir Folgendes einfach nicht erklären:
f'(x)> 0 für (-unendlich,0)U(1,2)
f'(x)< 0 für (0,1)U(2,unendlich)
und wieso man dann für x=1 ein lok. Minimum, für x=2 ein lok. Maximum hat.
Bitte um Hilfe :(
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Hallo Englein,
das ist nicht so schwierig, wie Du es Dir machst, aber man kann leicht dabei durcheinanderkommen.
> [mm]\bruch{-x+1}{x^2}[/mm] für x<1
>
> [mm]\bruch{x-1}{x^2}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 1
>
> Als 1. Ableitungen bekomme ich
>
> [mm]\bruch{x-2}{x^3}[/mm] und [mm]\bruch{-x+2}{x^3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich soll nun die Monotonie bestimmen.
>
> Also wann ist die 1. Ableitung größer bzw kleiner 0, da ich
> bei x=2 eine Nullstelle habe.
>
> Muss ich nun für f'(x)> 0 auch die als 2. berechnete
> Ableitung benutzen und für f'(x) < 0 die erste?
Nein, hier geht etwas durcheinander. Du hast doch die Funktion f(x) so aufgeteilt, dass Du ohne Betragsstriche auskommst, so dass die eine Funktionsdefinition links der 1 und die andere rechts davon gilt. Diese Grenze bleibt nun auch bei den Ableitungen bestehen!
Für x<1 ist nun [mm] f'(x)=\bruch{x-2}{x^3} [/mm] immer <0.
Für x>1 sieht die Sache anders aus:
[mm] 10
[/mm]
x=2: f'(x)=0
x>2: f'(x)<0
Du erkennst natürlich haarscharf, dass bei x=2 ein Maximum vorliegt: die Funktion steigt bis dahin an (f'>0), erreicht einen Punkt mit waagerechter Tangente bei x=2 (f'=0) und fällt dann wieder ab (f'<0).
Der zweite Punkt ist schwieriger zu finden. Bei x=1 ist die Funktion nämlich gar nicht differenzierbar.
Wenn Du oben aber einmal durchsiehst, entdeckst Du, dass für x<1 f'(x)<0 ist und für 1<x<2 f'(x)>0.
Zwar springt hier die Ableitung von -1 nach +1, trotzdem liegt ein Minimum vor.
Und wieder: lass Dir die Funktion mal aufzeichnen, dann siehst Du es sofort.
lg,
reverend
> Denn dann kann ich mir Folgendes einfach nicht erklären:
>
> f'(x)> 0 für (-unendlich,0)U(1,2)
> f'(x)< 0 für (0,1)U(2,unendlich)
>
> und wieso man dann für x=1 ein lok. Minimum, für x=2 ein
> lok. Maximum hat.
>
> Bitte um Hilfe :(
>
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Irgendwie habe ich das jetzt nicht ganz herauslesen können.
Muss ich nun bei der Suche nach f'(x) kleiner oder größer 0 auch jeweils die verschiedenen Ableitungen benutzen und gucken, wann also die erste Funktion die für x<1 definiert war für f'(x) kleiner 0 definiert ist und bei der 2. umgekehrt?
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Nein. Oder verstehe ich die Frage nicht?
Die eine Fassung der 1. Ableitung gilt für alle x<1.
Nur dort untersuchst Du sie auf Nullstellen. Es gibt keine.
Die andere Fassung gilt für alle x>1.
Nur dort untersuchst Du sie auf Nullstellen und findest [mm] x_N=2.
[/mm]
Dass der Definitionsbereich bei x=1 geteilt ist, liegt an der Auflösung der Betragsstriche!
lg,
rev
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Ich weiß nicht, vielleicht reden wir aneinander vorbei, weil ich mal wieder Chaos im Kopf habe :)
Ich meine den Teil in meinem ersten Posting, wo der Definitionsbereich angegeben wird.
Meine Frage ist, ob der Definitionsbereich sich auch jeweils auf nur eine der Ableitungen bezieht, oder ob man dann eine der Ableitungen genommen hat.
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> Ich meine den Teil in meinem ersten Posting, wo der
> Definitionsbereich angegeben wird.
Heiliger Strohsack!
Vielleicht solltest Du einfach den Teil des ersten Postings, den Du meinst, hier nochmal aufschreiben.
> Meine Frage ist, ob der Definitionsbereich sich auch
> jeweils auf nur eine der Ableitungen bezieht, oder ob man
> dann eine der Ableitungen genommen hat.
??? Mir schwirrt's im Kopfe.
Alles, was mir nach mehrfachen Lesen des Posts dazu einfällt, hat der reverend zuvor schon geschrieben.
Ich mach's jetzt nochmal in Zeichen:
Du hast
f(x):= [mm] \bruch{|x-1|}{x^2} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{-x+1}{x^2}, & \mbox{für } x<1 \mbox{ } \\ \bruch{x-1}{x^2}, & \mbox{für } x\ge 1{ } \end{cases},
[/mm]
weiter hast Du durch Ableiten errechnet
f'(x):= [mm] \bruch{|x-1|}{x^2} [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{x-2}{x^3} , & \mbox{für } x<1 \mbox{ } \\ \bruch{-x+2}{x^3} , & \mbox{für } x\red{>} 1{ } \end{cases}.
[/mm]
Die Differenzierbarkeit an der Nahtstelle der Funktionszweige, also bei x=1, wäre ggf. gesondert zu untersuchen.
Wenn Du Dich nun für die Nullstellen der ersten Ableitung interessierst,
- fallen von [mm] \bruch{x-2}{x^3}=0 [/mm] diejenigen Nullstellen ins Gewicht, die kleiner als 1 sind, denn für andere x ist das ja gar nicht die Ableitung von f.
- fallen von [mm] \bruch{-x+2}{x^3} [/mm] =0 diejenigen Nullstellen ins Gewicht, die größer als 1 sind, denn für andere x ist das ja gar nicht die Ableitung von f.
So, nun hoffe ich, daß ich die Frage, die ich nicht richtig verstanden habe, beantwortet habe.
Gruß v. Angela
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Und da die einzige NST x=2 ist nehme ich also um dann noch zu schauen, wann die Ableitung kleiner bzw größer 0 wird für die Bestimmung der Monotonie die zweite Funktion für x>1, weil auch nur hier die Nullstelle liegt?
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> Und da die einzige NST x=2 ist nehme ich also um dann noch
> zu schauen, wann die Ableitung kleiner bzw größer 0 wird
> für die Bestimmung der Monotonie die zweite Funktion für
> x>1, weil auch nur hier die Nullstelle liegt?
Hallo,
die einzige Nullstelle, die f'(x) hat, ist bei x=2, und nun mußt Du erstmal nich herausfinden, ob dort ein Minimum oder ein Maximum ist.
das kannst Du z.B. tun durch Betrachten der zweiten Ableitung, aber auch, indem Du feststellst, wie sich die erste Ableitung dicht rechts und links dieses Punktes benimmt, also ob sie da größer oder kleiner als 0 ist.
Dann gibt es bei dieser Funktion noch einen besonderen Punkt: die Stelle x=1.
Die Funktion ist hier nicht differenzierbar, deshalb kann man hier nicht erwarten, daß das Nullsetzen der ersten Ableitung für diesen Punkt Erkenntnisse liefert. Er ist also mit anderen methoden auf seine eventuelle Extremwerteigenschaft zu untersuchen. Dazu mußt Du f(1) anschauen, und die Funktionswerte dicht rechts und dicht links der 1. Die eine bekommst Du durch Einsetzen in den zweiten Funktionszweig, die anderen mit dem ersten.
Gruß v. Angela
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