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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe | Man berechne [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(\bruch{dz}{1+z²})}, [/mm] wenn [mm] \gamma [/mm] die durch
(a) |z-i|= 1,
(b) |z+i|= 1,
(c) |z| = 2
beschriebenen Kreislinien einmal im positiven Umlaufsinn durchläuft.
Welche Werte kann das Integral annehmen, wenn [mm] \gamma [/mm] eine geschlossene Kurve ist, die nicht durch [mm] \pm [/mm] i geht? |
Hey Leute,
ich sturdiere Mathe im Hauptstudium. Bei dieser Aufgabe auf dem Übungsblatt haben ich Probleme. Ich weiß, dass ich die Singularitäten herausfinden muss um die Cauchy Integralformel anwenden zu können. Aber hier fängt es schon an. Ich finde einfach keinen Anfang. Ich weiß leider nicht wie ich den Nenner zerlegen soll.
Kann mir jemand Helfen die Aufgabe zu lösen oder hat jemand einen Tipp wo ich anfangen könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist f?
und soll das jetzt [mm] $1+z^2$ [/mm] oder $1+z$ im Nenner sein?
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Du brauchst die Pole Deiner Funktion, also die Nullstellen des Nenners. Damit stellt sich die Frage, wann [mm] z^2 +1 = 0 [/mm] ist? Die Lösung ist rein imaginär.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Di 10.05.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
Ok, dass wäre also i. Aber warum überhaubt z²+1=0?
Die Funktion lautet doch [mm] \bruch{1}{z+1}. [/mm] Demnach müsste z+1=0 oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dass wäre also i. Aber warum überhaubt z²+1=0?
>
> Die Funktion lautet doch [mm]\bruch{1}{z+1}.[/mm]
Bist Du sicher ?
Demnach müsste
> z+1=0 oder nicht?
Ja, also z=-1
Zu [mm] \gamma [/mm] : |z - i|=1 : die fkt. [mm]\bruch{1}{z+1}.[/mm] ist auf der Kreisscheibe [mm] \{ z \in \IC: |z-i| <1,1 \} [/mm] holomorph. Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist das fragliche Integral = was ?
Zu [mm] \gamma [/mm] : |z + i|=1 : verfahre ähnlich.
Zu [mm] \gamma [/mm] : |z|=2: setze f(z)=1 und berechne f(-1) mit der Cauchyschen Integralformel.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man berechne [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(\bruch{dz}{1+z²})},[/mm]
> wenn [mm]\gamma[/mm] die durch
> (a) |z-i|= 1,
> (b) |z+i|= 1,
> (c) |z| = 2
> beschriebenen Kreislinien einmal im positiven Umlaufsinn
> durchläuft.
>
> Welche Werte kann das Integral annehmen, wenn [mm]\gamma[/mm] eine
> geschlossene Kurve ist, die nicht durch [mm]\pm[/mm] i geht?
> Hey Leute,
> ich sturdiere Mathe im Hauptstudium. Bei dieser Aufgabe
> auf dem Übungsblatt haben ich Probleme. Ich weiß, dass
> ich die Singularitäten herausfinden muss um die Cauchy
> Integralformel anwenden zu können. Aber hier fängt es
> schon an. Ich finde einfach keinen Anfang. Ich weiß leider
> nicht wie ich den Nenner zerlegen soll.
>
> Kann mir jemand Helfen die Aufgabe zu lösen oder hat
> jemand einen Tipp wo ich anfangen könnte?
Edit: hab alles entfernt
FRED
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