Funktionentheorie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) zu zeigen: Jede reell-lineare Abbildung L: [mm] \IC \to \IC [/mm] hat die Gestalt [mm] L(z)=\alpha z+\beta \overline{z} [/mm] mit [mm] \alpha, \beta \in \IC.
[/mm]
(b) Für welche Zahlen [mm] \alpha, \beta \in \IC [/mm] ist die Abbildung [mm] L(z)=\alpha z+\beta \overline{z} [/mm] komplex-linear?
(c) Kennzeichnen Sie die reell- bzw. komplex-linearen Abbildungen L: [mm] \IC \to \IC [/mm] durch reelle Matrizen bezüglich der [mm] \IR-Basis [/mm] 1, i von [mm] \IC. [/mm] |
Hallo zusammen,
Bei (a) sollte man die Linearität nachweisen:
(1) [mm] L(z+w)=\alpha (z+w)+\beta(\overline{z+w}) [/mm] = [mm] \alpha(z+w)+\beta(\overline{z}+\overline{w})= \alphaz+\betaz+\alpha\overline{z}+\beta\overline{w} [/mm] = L(z) + L(w) mit z,w [mm] \in \IC
[/mm]
(2) [mm] L(\lambda z)=\alpha(\lambda)+\beta(\overline{\lambda z}) [/mm] = [mm] \alpha\lambda z+\beta\overline{\lambda}\overline{z} [/mm] = [mm] \lambda(\alpha z+\beta\overline{z}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] L(z) z [mm] \in \IC, \lambda \in \IR
[/mm]
Das müsste eigentlich passen.. Doch für welche [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] dies bei einem komplexen [mm] \lambda [/mm] gilt, ist uns unklar.. Hätte da jemand einen Tipp?
Bei (c) haben wir versucht, aus der Basis (1,0) und (0,i) und der Abbildung eine Darstellungsmatrix zu berechnen, diese macht aber leider nicht so viel Sinn..
Es wäre super, wenn wir dazu einen Tipp bekommen würden.
Liebe Grüße und schonmal vielen Dank,
Anil
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Di 02.05.2017 | | Autor: | meili |
Hallo Anil,
> (a) zu zeigen: Jede reell-lineare Abbildung L: [mm]\IC \to \IC[/mm]
> hat die Gestalt [mm]L(z)=\alpha z+\beta \overline{z}[/mm] mit
> [mm]\alpha, \beta \in \IC.[/mm]
>
> (b) Für welche Zahlen [mm]\alpha, \beta \in \IC[/mm] ist die
> Abbildung [mm]L(z)=\alpha z+\beta \overline{z}[/mm] komplex-linear?
>
> (c) Kennzeichnen Sie die reell- bzw. komplex-linearen
> Abbildungen L: [mm]\IC \to \IC[/mm] durch reelle Matrizen bezüglich
> der [mm]\IR-Basis[/mm] 1, i von [mm]\IC.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Bei (a) sollte man die Linearität nachweisen:
>
> (1) [mm]L(z+w)=\alpha (z+w)+\beta(\overline{z+w})[/mm] =
> [mm]\alpha(z+w)+\beta(\overline{z}+\overline{w})= \alphaz+\betaz+\alpha\overline{z}+\beta\overline{w}[/mm]
> = L(z) + L(w) mit z,w [mm]\in \IC[/mm]
>
> (2) [mm]L(\lambda z)=\alpha(\lambda)+\beta(\overline{\lambda z})[/mm]
> = [mm]\alpha\lambda z+\beta\overline{\lambda}\overline{z}[/mm] =
> [mm]\lambda(\alpha z+\beta\overline{z})[/mm] = [mm]\lambda[/mm] L(z) z [mm]\in \IC, \lambda \in \IR[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das müsste eigentlich passen.. Doch für welche [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]\beta[/mm] dies bei einem komplexen [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gilt, ist uns
> unklar.. Hätte da jemand einen Tipp?
Probleme bei der komplexen-Linearität macht doch,
dass nicht gilt:
$\lambda = \overline{\lambda}$ für alle $\lambda \in \IC$.
Mit $\beta = 0$ tritt das nicht auf.
>
> Bei (c) haben wir versucht, aus der Basis (1,0) und (0,i)
> und der Abbildung eine Darstellungsmatrix zu berechnen,
> diese macht aber leider nicht so viel Sinn..
Warum?
>
> Es wäre super, wenn wir dazu einen Tipp bekommen würden.
Für eine solche Matrix A muss gelten:
$A*\vektor{Re(z) \\ Im(z)} = \vektor{Re(L(z)) \\ Im(L(z))$
>
> Liebe Grüße und schonmal vielen Dank,
> Anil
>
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Di 02.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> > (a) zu zeigen: Jede reell-lineare Abbildung L: [mm]\IC \to \IC[/mm]
> > hat die Gestalt [mm]L(z)=\alpha z+\beta \overline{z}[/mm] mit
> > [mm]\alpha, \beta \in \IC.[/mm]
> > Bei (a) sollte man die Linearität nachweisen:
> >
> > (1) [mm]L(z+w)=\alpha (z+w)+\beta(\overline{z+w})[/mm] =
> > [mm]\alpha(z+w)+\beta(\overline{z}+\overline{w})= \alphaz+\betaz+\alpha\overline{z}+\beta\overline{w}[/mm]
> > = L(z) + L(w) mit z,w [mm]\in \IC[/mm]
> >
> > (2) [mm]L(\lambda z)=\alpha(\lambda)+\beta(\overline{\lambda z})[/mm]
> > = [mm]\alpha\lambda z+\beta\overline{\lambda}\overline{z}[/mm] =
> > [mm]\lambda(\alpha z+\beta\overline{z})[/mm] = [mm]\lambda[/mm] L(z) z [mm]\in \IC, \lambda \in \IR[/mm]
>
>
Vorsicht:
Bei a) ist nicht gefordert zu zeigen, dass jede Abbildung [mm] $L\colon\IC\to\IC$ [/mm] der Gestalt [mm] $L(z)=\alpha z+\beta\overline{z}$ [/mm] auch [mm] $\IR$-linear [/mm] ist, sondern dass jede [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung [mm] $L\colon\IC\to\IC$ [/mm] diese Gestalt hat.
Gegeben eine beliebige [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung [mm] $L\colon\IC\to\IC$ [/mm] sind also [mm] $\alpha,\beta\in\IC$ [/mm] mit [mm] $L(z)=\alpha z+\beta\overline{z}$ [/mm] für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] zu finden.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Bei c sollst du z = a+b*i als [mm] \vektor{a\\b} [/mm] darstellen.
Dabei kommt das i dann gar nicht mehr vor. Überlege, wie nun das Ergebnis der linearen Abbildung aussehen soll. Damit kannst du leicht die Matrix finden.
|
|
|
|
