Funktionenschar und Ortskurve < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 So 24.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | | Bestimme die Ortskurve der Hochpunkte der Funktionenschar [mm] f_{k}(x)=x²\*e^{1-\bruch{x}{k}}. [/mm] |
Um überhaupt den Hockpunkt zu bestimmen habe ich erstmal die ersten zwei Ableitungen gemacht! Ich bin mir allerdings überhaupt nicht sicher ob die stimmen! Könnte das bitte mal jemand nachrechnen?!
1Ableitung: [mm] f_{k}(x)=xe^{1-\bruch{x}{k}}(2-\bruch{x}{k})
[/mm]
und 2 [mm] Ableitung:f´´_{k}(x)=e^{1-\bruch{x}{k}}(-3\bruch{x}{k}+2)!
[/mm]
Um die Extremepunkte zu bestimmen habe ich dann f´(x)=0 gesetzt!
Dann habe x1=0 und x2=2k raus bekommen!
Und jetzt müsste ich das ja in die zweite Ableitung einsetzen und dann nach x umstellen! Aber irgendwie bekomme ich da kein Ergebnis raus!
Kann mir jemand bitte helfen?!
Grüße Lisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 So 24.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Nein, du musst deine gefundenen Ergebnisse (0 und 2k) in f''(x) für x einsetzen und schauen, ob etwas rauskommt, was größer oder kleiner als 0 ist!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 24.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja, das stimmt! Aber ich bekomme da überhaupt kein Ergebnis raus! Das geht bei mir irgendwie nicht!
Stimmen die Ableitungen denn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 So 24.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Die 2. leider nicht ganz. Da muss irgendwo ein x² stehen!
Aber die 1. stimmt und 0 und 2k sind auch erst einmal richtig. Der Hochpunkt sollte dann bei 2k liegen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 24.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja wie geht die zweite Ableitung dann wirklich?
Ja, klaro der Extrempunkt ist bei x=2k! Aber ich muss ja das erst noch in die zweite Ableitung einsetzen um zu zeigen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist! Aber wenn ich das einsetze und nach x umstellen will kommt bei mir nichts wirkliches raus! Kann mir nochmal jemand helfen?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 24.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Du stellst nicht nach x um, um zu schauen, ob du einen Hoch- oder Tiefpunkt gefunden hast!
Du setzt für x deine gefundenen Extremwerte ein und schaust, ob die 2. Ableitung an der Stelle größer oder kleiner 0 ist!
[mm] f_k''(x)=e^{1-\bruch{x}{k}}(\bruch{x²}{k²}-\bruch{4x}{k}+2)
[/mm]
Setzt du nun für x 0 ein, siehst du, dass [mm] f_k''(0)>0 [/mm] -> Tiefpunkt.
Und [mm] f_k''(2k)<0, [/mm] kannst du ja mal durchrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 24.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Ja ich mache dann f"(2k)=?
Wie geht die f"(x)?! Ich hatte doch einen Fehler?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 24.02.2008 | | Autor: | Teufel |
2. Ableitung steht 2 Posts über diesem hier :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Ok danke!
Aber ich verstehe einfach nicht wie du auf diese Ableitung kommst! Die erste Ableitung habe ich mithilfe der Produktregel gemacht! Aber die zweite?! Mit der Kettenregel oder Produktregel? Kann mir jemand vielleicht nochmal die einzelnen Schritte genau aufschreiben bzw erklären?!
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
am übersichtlichsten ist es, wenn du die Klammer zuerst einmal ausmultiplizierst und dann mit der Produkt- und Kettenregel ableitest:
[mm] $f_k'(x)=x\cdot{}e^{1-\frac{x}{k}}\cdot{}\left(2-\frac{x}{k}\right)=\blue{2xe^{1-\frac{x}{k}}}\red{-\frac{x^2}{k}e^{1-\frac{x}{k}}}$
[/mm]
Das nun summandenweise mit Produkt-/Kettenregel verarzten:
erster Summand: [mm] $\blue{2xe^{1-\frac{x}{k}}}$
[/mm]
Das ableiten: [mm] $2\cdot{}\left[1\cdot{}e^{1-\frac{x}{k}}+x\cdot{}\left(-\frac{1}{k}\right)e^{1-\frac{x}{k}}\right]=2e^{1-\frac{x}{k}}-2\cdot{}\frac{x}{k}e^{1-\frac{x}{k}}$
[/mm]
zweiter Summand: [mm] $\red{-\frac{x^2}{k}e^{1-\frac{x}{k}}}$
[/mm]
ableiten ergibt: [mm] $-\left(\frac{2x}{k}e^{1-\frac{x}{k}}+\frac{x^2}{k}\cdot{}\left(-\frac{1}{k}\right)\cdot{}e^{1-\frac{x}{k}}\right)=-\frac{2x}{k}e^{1-\frac{x}{k}}+\frac{x^2}{k^2}e^{1-\frac{x}{k}}$
[/mm]
Das noch zusammensetzen und zusammenfassen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
