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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 08.07.2010 | | Autor: | begker |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Gleichung einer quadratischen Funktionenschar pa, deren Graphen nach unten geöffnet sind und deren Nullstellen bei [mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 9 liegen. |
Ich habe zunächst die Parameter p und q bestimmt. Der Parameter q ergibt sich aus [mm] x_{1}*x_{2}=0*9=0 [/mm] und [mm] -p=x_{1}+x_{2}=0+9=9, [/mm] also ist p=-9.
Der Graph ist nach unten geöffnet, also muss das x² ein negatives Vorzeichen haben.
Eine spezielle Funktion der Funktionenschar heißt also:
f(x) = -x²+9x
Die Funktionenschar würde folgendermaßen aussehen:
pa(x) = -ax²+9ax,
da der Faktor vor dem x² den Graphen in dem Maße staucht, wie der Parameter p den Graphen auf der x-Achse verschiebt.
Zwei Fragen habe ich dazu aber noch: Wie begründe ich das Ganze mathematisch und durch mathematische Formeln unterlegt. Und wie begründe ich, dass ich für den Parameter p statt wie oben errechnet -9 eine +9 einsetze?
Vielen Dank!!
begker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Do 08.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Gleichung einer quadratischen
> Funktionenschar pa, deren Graphen nach unten geöffnet sind
> und deren Nullstellen bei [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}[/mm] = 9 liegen.
> Ich habe zunächst die Parameter p und q bestimmt. Der
> Parameter q ergibt sich aus [mm]x_{1}*x_{2}=0*9=0[/mm] und
> [mm]-p=x_{1}+x_{2}=0+9=9,[/mm] also ist p=-9.
> Der Graph ist nach unten geöffnet, also muss das x² ein
> negatives Vorzeichen haben.
> Eine spezielle Funktion der Funktionenschar heißt also:
> f(x) = -x²+9x
>
> Die Funktionenschar würde folgendermaßen aussehen:
> pa(x) = -ax²+9ax,
>
> da der Faktor vor dem x² den Graphen in dem Maße staucht,
> wie der Parameter p den Graphen auf der x-Achse verschiebt.
>
> Zwei Fragen habe ich dazu aber noch: Wie begründe ich das
> Ganze mathematisch und durch mathematische Formeln
> unterlegt. Und wie begründe ich, dass ich für den
> Parameter p statt wie oben errechnet -9 eine +9 einsetze?
> Vielen Dank!!
> begker
Hallo,
über die Linearfaktorzerlegung lässt sich das einfach begründen.
Wenn eine quadratische Funktion die Nullstellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hat, so enthält ihre Linearfaktorzerlegung die Faktoren [mm] (x-x_1) [/mm] und [mm] (x-x_2).
[/mm]
Im konkreten Fall sind das (x-0) und (x-9).
Es ist einzusehen, dass (x-0)(x-9) genau dann Null ist, wenn x=0 oder x=9 gilt?
Der Funktionsterm [mm] a(x-0)(x-9)=a(x^2-9x) [/mm] hat (für [mm] a\ne0) [/mm] immer noch genau die beiden Nullstellen.
Wenn die Funktion nun nach unten geöffnet sein soll, muss a negativ sein, denn f(x)=x(x-9) ist nach oben geöffnet.
Gruß Abakus
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