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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] $ft(x)=x*ln\bruch{x^2}{t}$, [/mm] mit t>0.
c) Untersuchen Sie das Randverhalten der Funktion ft.
d) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Koordinatenachsen.
e) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die 1. Ableitung von f durch [mm] $ft'(x)=ln\bruch{x^2}{t}+2$
[/mm]
d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die 2. Ableitung von f durch [mm] $ft'(x)=\bruch{2}{x}$ [/mm] gegeben ist.
g) Berechnen Sie Hoch- und Tiefpunkte.
h) Berechnen Sie die Wendepunkte der Funktion f.
j) Berechnen Sie eine Funktion, auf der alle Extremwerte zu finden sind.
k) Zeigen Sie, ob verschiedenen Graphen der Schar gemeinsame Punkte haben. |
Hallo Leute!
Also erstmal zunächst zu c). Wenn der limes gegen unendlich geht, dann läuft die gesamte Funktion doch gegen unendlich, oder? Und wen der limes gegen unendlich läuft, dann geht die gesamte Funktion doch gegen minus unendlich, richtig?
Zu d): Sind diese Punkte richtig? [mm] $Sx1(\wurzel{e^0*t} [/mm] | 0)$ sowie [mm] $Sx1(-\wurzel{e^0*t} [/mm] | 0)$
Wie lautet die 1. Ableitung von [mm] $ln\bruch{x^2}{t}$? [/mm] Man muss hier die Kettenregel anwenden, richtig? Nur wie?
Das wären meine Fragen vorerst!
LG
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Do 24.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Gegeben ist die Funktion [mm]ft(x)=x*ln\bruch{x^2}{t}[/mm], mit
> t>0.
> c) Untersuchen Sie das Randverhalten der Funktion ft.
> d) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Koordinatenachsen.
> e) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die 1. Ableitung von
> f durch [mm]ft'(x)=ln\bruch{x^2}{t}+2[/mm]
> d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die 2. Ableitung von
> f durch [mm]ft'(x)=\bruch{2}{x}[/mm] gegeben ist.
> g) Berechnen Sie Hoch- und Tiefpunkte.
> h) Berechnen Sie die Wendepunkte der Funktion f.
> j) Berechnen Sie eine Funktion, auf der alle Extremwerte
> zu finden sind.
> k) Zeigen Sie, ob verschiedenen Graphen der Schar
> gemeinsame Punkte haben.
>
> Hallo Leute!
>
> Also erstmal zunächst zu c). Wenn der limes gegen
> unendlich geht, dann läuft die gesamte Funktion doch gegen
> unendlich, oder? Und wen der limes gegen -unendlich läuft,
> dann geht die gesamte Funktion doch gegen minus unendlich,
> richtig?
ja, richtig.
>
> Zu d): Sind diese Punkte richtig? [mm]Sx1(\wurzel{e^0*t} | 0)[/mm]
> sowie [mm]Sx1(-\wurzel{e^0*t} | 0)[/mm]
Ja die stimmen, allerdings fehlt noch ein Schnittpunkt mit der x-Achse und der mit der y-Achse. Übrigens: [mm] $e^0=1$
[/mm]
>
> Wie lautet die 1. Ableitung von [mm]ln\bruch{x^2}{t}[/mm]? Man muss
> hier die Kettenregel anwenden, richtig? Nur wie?
Ja, Kettenregel ist hier angesagt. Was genau meinst Du mit "wie"? Das ist eine Verkettung der Funktionen [mm] $u(v(x))=\ln(v(x))$ [/mm] und [mm] $v(x)=\frac{x^2}{t}$ [/mm] Darauf ist die Kettenregel anzuwenden.
>
> Das wären meine Fragen vorerst!
>
> LG
> Steffi
Gruß,
notinX
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Danke für die Antwort, notinX. Also der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei $Sy(0|0)$. Ist das überhaupt möglich?
Okay, vielen Dank! Dann kommt da [mm] $\bruch{2}{x}$ [/mm] raus, und dann wendet man noch die Produktregel an und somit komm man auf das Ergebnis! Super, danke vielmals. 
Also ich habe bis jetzt alle Aufgaben bis auf j) und k). Könnt ihr mir einen Denkanstoss geben? Habe leider keine Ahnung.
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Hallo Steffi2012,
> Danke für die Antwort, notinX. Also der Schnittpunkt mit
> der y-Achse liegt bei [mm]Sy(0|0)[/mm]. Ist das überhaupt
> möglich?
An der Stelle x=0 ist zunächst mal die Funktion nicht definiert.
Durch Grenzwertbildung erhält man jedoch den Wert 0.
>
> Okay, vielen Dank! Dann kommt da [mm]\bruch{2}{x}[/mm] raus, und
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann wendet man noch die Produktregel an und somit komm man
> auf das Ergebnis! Super, danke vielmals.
>
> Also ich habe bis jetzt alle Aufgaben bis auf j) und k).
> Könnt ihr mir einen Denkanstoss geben? Habe leider keine
> Ahnung.
Berechne zunächst die Extremwerte in Abhängigkeit von t.
Gruss
MathePower
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Danke. Also quasi:
[mm] $f(\wurzel{e^{-2}*t} [/mm] = [mm] \wurzel{e^{-2}*t}*lne^{-2}
[/mm]
? Das ist der Hochpunkt. Und dann nach t auflösen, oder was?
Handelt um die Aufgabe j!
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Hallo Steffi2012,
> Danke. Also quasi:
>
> [mm]$f(\wurzel{e^{-2}*t}[/mm] = [mm]\wurzel{e^{-2}*t}*lne^{-2}[/mm]
>
> ? Das ist der Hochpunkt. Und dann nach t auflösen, oder
> was?
Das ist doch schon die Kurve auf der die Hochpunkte liegen.
>
> Handelt um die Aufgabe j!
Gruss
MathePower
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Also ist das die gesuchte Funktion? ( $ [mm] \wurzel{e^{-2}\cdot{}t}\cdot{}lne^{-2} [/mm] $)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Fr 25.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein das ist nicht die Kurve: du hast die Hochpunkte bei
[mm] x=\bruch{\wurzel{t}}{e} y=-2*\bruch{\wurzel{t}}{e} (wegen(ln(e^{-2})=-2))
[/mm]
also auf der Kurve y=-2x das sieht man direkt, kann aber wenn man es nicht sieht [mm] x=\bruch{\wurzel{t}}{e} [/mm] nach t auflösen und in y einsetzen.
Gruss leduart
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