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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:22 Do 04.03.2004 | | Autor: | Mandos |
Hallo zusammen,
ich habe da auch ein kleines Problem mit einer Art von Aufgaben und zwar geht es um eine Funkionenschar. Leider hab ich keine Ahnnung wie ich bei so einer Aufgabe anfangen soll. Alles nach x auflösen und dann einsetzen...?
Wäre super froh über einen Anfang mit den einzelnen Rechenschritten so das ich es auch nachvollziehen kann.
Ok jetzt aber zur Aufgabe:
[mm]\{ fa(x) } = \bruch{1}{a}*x+a+\bruch{a}{x-a}[/mm]
D=IR [mm]a\neq0[/mm]
Graph sei Ga
Untersuchen Sie Ga auf Asymptoten, Hoch, Tief und Wendepunkte
Zeichnen Sie G2 im Bereich -6<x<6
So schon mal vielen Dank für eure Hilfe
Gruss Mandos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Do 04.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mandos,
fanden wir mal langsam an.
Die Funktion lautet also:
[mm]f_a(x)= \bruch{1}{a}*x+a+\bruch{a}{x-a}[/mm] .
Es wird [mm]a \ne 0[/mm] vorausgesetzt.
[mm]x[/mm] ist die Unbekannte, [mm]a[/mm] der Parameter. [mm]a[/mm] ist wie eine Konstante zu behandeln. Du kannst immer so tun, als ob statt [mm]a[/mm] eine normale Zahl da stände.
Allerdings musst du manchmal aufpassen. Wenn du zum Beispiel eine Ungleichung hast, dann musst du eventuell mehrere Fälle unterscheiden (zum Beispiel musst du bei einer Ungleichung, wenn du durch [mm]a[/mm] teilst, die Fälle [mm]a>0[/mm] und [mm]a<0[/mm], weil im ersten Fall das Ungleichheitszeichen so stehen bleibt und sich im zweiten Mal rumdreht).
[mm]D=\IR[/mm]
Das ist leider falsch. Schau dir doch mal den Ausdruck [mm]\bruch{a}{x-a}[/mm] an. Welchen Wert darf ich für [mm]x[/mm] nicht einsetzen? Denk daran, man darf nicht durch [mm]0[/mm] teilen.
Wie lautet also der korrekte Definitionsbereich?
Versuch es mal.
Nun bilden wir mal die erste Ableitung:
Nach der Summenregel ([mm](f+g)'(x)=f'(x) + g'(x)[/mm] dürfen wir die Summanden einzeln ableiten.
Den Term [mm]\bruch{1}{a}*x[/mm] kann man leich ableiten, die Ableitung ist, da [mm]\bruch{1}{a}[/mm] als Konstante aufzufassen ist, gerade [mm]\bruch{1}{a}[/mm].
(Regel: [mm](cf)'(x) = c\cdot f'(x)[/mm], wenn [mm]c[/mm] eine Konstante und [mm]f(x)[/mm] eine differenzierbare Funktion ist.)
Die Konstante [mm]a[/mm] fällt beim Ableiten einfach weg.
Es verbleibt [mm]\bruch{a}{x-a}[/mm] abzuleiten.
Das kannst du (auch wenn es umständlich ist, aber für dich sicherlich leichter nachvollziehbar) mit der Quotientenregel machen:
Man erhält:
[mm]\frac{\mbox{Nenner} \cdot \mbox{Ableitung Zähler} - \mbox{Zähler} \cdot \mbox{Ableitung Nenner}}{\mbox{Nenner}^2} = \frac{(x-a) \cdot 0- a \cdot 1}{(x-a)^2} = \frac{-a}{(x-a)^2}[/mm].
Insgesamt erhalten wir also:
[mm]f_a'(x) = \frac{1}{a} - \frac{a}{(x-a)^2}[/mm].
Die möglichen lokalen Extrema sind Nullstellen der ersten Ableitung.
Strategie: Bringe die beiden Summanden auf einen Nenner und schaue nach, wann der Zähler gleich null wird.
Versuche das bitte und melde dich mit deinem Ergebnis.
Und gibt den richtigen Definitionsbereich an.
Dann geht es weiter... 
Liebe Grüße
Stefan
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