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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 13.02.2006 | | Autor: | stego |
| Aufgabe | Hey, ich habe ein Problem mit einer übergreifenden Aufgabe aus dem Teilbereich der Analysis.
Die Funktioneschar lautet [mm] f_{a}(x) =(e^{x}-a)^2 [/mm] mit a >0.
a) Bestimmen Sie den Term g(x) der Funktion g, auf deren Graph alle lokalen Tiefpunkte bzw. Wendepunkte der Schar liegen.
b) In welchem Punkt S [mm] (x_{s}; y_{s}) [/mm] schneider der Graph seine Asymptote?
c) Berechnen sie die Maßzahl A der Fläche zwischen dem Graphen von [mm] f_{a} [/mm] und seiner Asymptote für x<= [mm] x_{s}!
[/mm]
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Das Problem bei der Berechnung dieser Aufgaben liegt bei dem Ansatz. Ich kann keinen Ansatz dazu finden und aus diesem Grund auch die Aufgaben nicht lösen.
Ich wäre froh, wenn ihr mir dabei behilflich sein könntet  !
Grüße,
Stego
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Hi, Stego,
> Die Funktioneschar lautet [mm]f_{a}(x) =(e^{x}-a)^2[/mm] mit a >0.
>
> a) Bestimmen Sie den Term g(x) der Funktion g, auf deren
> Graph alle lokalen Tiefpunkte bzw. Wendepunkte der Schar
> liegen.
>
> b) In welchem Punkt S [mm](x_{s}; y_{s})[/mm] schneider der Graph
> seine Asymptote?
>
> c) Berechnen sie die Maßzahl A der Fläche zwischen dem
> Graphen von [mm]f_{a}[/mm] und seiner Asymptote für x<= [mm]x_{s}![/mm]
>
> Das Problem bei der Berechnung dieser Aufgaben liegt bei
> dem Ansatz. Ich kann keinen Ansatz dazu finden und aus
> diesem Grund auch die Aufgaben nicht lösen.
Wenn's nur um den Ansatz geht, kann Dir geholfen werden.
a) Du musst zunächst die Koordinaten der Tiefpunkte ausrechnen. (Klar, wie das geht: 1.Ableitung berechnen, Ableitung=0 setzen, zum Beweis, dass ein Tiefp. vorliegt in die 2.Ableitung einsetzen; danach y-Koordinate ausrechnen.)
(Zum Vergleich: T(ln(a) | 0); demnach liegen alle Tiefpunkte auf der x-Achse, die damit gleichzeitig die gesuchte "Ortslinie" der Tiefpunkte ist)
Für die Wendepunkte musst Du analog die 2.Ableitung=0 setzen, etc.
(Zum Vergleich: W(ln(0,5a) | [mm] \bruch{a^{2}}{4})
[/mm]
Für die Orstslinie der Wendepunkte musst Du die x-Koordinate x=ln(0,5a) nach a auflösen und dies in die y-Koordinate des WP einsetzen.
b) Die Funktionen haben als waagrechte Asymptote für x [mm] \to -\infty [/mm] die Gerade [mm] y^=a^{2}, [/mm] was Du leicht mit Hilfe des Grenzwertes berechnen kannst.
Nun sollst Du also den jeweiligen Schnittpunkt durch Gleichsetzen ermitteln, also: [mm] (e^{x} [/mm] - [mm] a)^{2} [/mm] = [mm] a^{2}.
[/mm]
c) Hier sollst Du das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{x_{s}}{( a^{2} - (e^{x} - a)^{2})dx}
[/mm]
berechnen.
(Beachte dabei Aufgabe b)!)
mfG!
Zwerglein
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