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| Aufgabe | [mm] f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k [/mm] die in jedem Punkt [mm] a \neq x_0 [/mm] konvergiert.
f soll dann absolut und gleichmäßig auf jedem Intervall [mm] [a-p,a+p]; 0<0<|a-x_0| [/mm] konvergieren. ----? |
Hallöle,
Der Beweis ist gegeben, aber Meinung nach nicht schlüssig:
Zitat:
Sei [mm]f_n(x):=a_n(x-x_0)^n[/mm]
Nach Voraussetzung konvergiert f(a), es gibt also ein [mm] M>0 [/mm] mit [mm]|f_n(a)|=|a_n(a-x_o)^n|\leq M[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb N_0[/mm]. Für alle [mm]x\in [a-p,a+p][/mm] gilt dann:
[mm]|f_n(x)|=|a_n(x-x_0)^n|=|a_n(a-x_0)^n| \cdot \left|\frac{x-x_0}{a-x_0}\right|^n\le M \cdot C^n [/mm]
mit [mm]C:=\frac{p}{|a-x_0|}\in (0,1)[/mm] ...
Zitatende
Die letzte bzw. vorletzte Zeile ist die, die mir Kopfschmerzen bereitet, da meiner Meinung nach folgendes nicht stimmt:
[mm]\left|\frac{x-x_0}{a-x_0}\right|^n \le C^n [/mm]mit [mm]C\in (0,1)[/mm]
Meine Fragen sind nun:
stimmt die Ungleichung/der Beweis doch?
falls nicht, wie könnte man dieses Beispiel mit möglichst geringem Aufwand reparieren?
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lorenz,
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k[/mm] die in jedem Punkt [mm]a \neq x_0[/mm]
> konvergiert.
> f soll dann absolut und gleichmäßig auf jedem Intervall
> [mm][a-p,a+p]; 0<0<|a-x_0|[/mm] konvergieren. ----?
> Hallöle,
>
> Der Beweis ist gegeben, aber Meinung nach nicht schlüssig:
>
> Zitat:
> Sei [mm]f_n(x):=a_n(x-x_0)^n[/mm]
> Nach Voraussetzung konvergiert f(a), es gibt also ein [mm]M>0[/mm]
> mit [mm]|f_n(a)|=|a_n(a-x_o)^n|\leq M[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb N_0[/mm].
> Für alle [mm]x\in [a-p,a+p][/mm] gilt dann:
>
> [mm]|f_n(x)|=|a_n(x-x_0)^n|=|a_n(a-x_0)^n| \cdot \left|\frac{x-x_0}{a-x_0}\right|^n\le M \cdot C^n [/mm]
>
> mit [mm]C:=\frac{p}{|a-x_0|}\in (0,1)[/mm] ...
>
> Zitatende
>
> Die letzte bzw. vorletzte Zeile ist die, die mir
> Kopfschmerzen bereitet, da meiner Meinung nach folgendes
> nicht stimmt:
> [mm]\left|\frac{x-x_0}{a-x_0}\right|^n \le C^n [/mm]mit [mm]C\in (0,1)[/mm]
>
> Meine Fragen sind nun:
> stimmt die Ungleichung/der Beweis doch?
nein, denn wegen $a [mm] \in [/mm] [a-p,a+p]$ gilt sicherlich für $x=a$ dann ja schon [mm] $\frac{|x-x_0|}{|a-x_0|}=\frac{|a-x_0|}{|a-x_0|}=1$, [/mm] und für $x [mm] \in [/mm] (a, a+p]$ ist sogar [mm] $\frac{|x-x_0|}{|a-x_0|} [/mm] > 1$.
(Ich nehme mal an, dass [mm] $x_0, [/mm] a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, aber ähnliche Probleme kann man - mithilfe einer geeigneten Geraden (die durch [mm] $x_0$ [/mm] und $a$ geht) - sofort auch in [mm] $\IC$ [/mm] erkennen und formulieren.)
Der Beweis sollte aber zu retten sein:
Die obige Reihe konvergiert in allen $a [mm] \not= x_0$, [/mm] zudem ist deren Entwicklungspunkt der Punkt [mm] $x_0$. [/mm] Sei nun $a [mm] \not=x_0$ [/mm] gegeben. Sei weiter $0 < p < [mm] |a-x_0|$ [/mm] (beachte: ein solches $p$ existiert ja nur für $a [mm] \not=x_0$).
[/mm]
Dann gilt:
$f$ (bzw. die von $f$ dargestellte Reihe) konvergiert insbesondere für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| \le |a-x_0|+p+1$, [/mm] also insbesondere für
[mm] $x_1:=x_0+|a-x_0|+p+1$ [/mm]
(Anstatt [mm] $x_1$ [/mm] könnte man auch etwas allgemeiner
[mm] $x_\varepsilon:=x_0+|a-x_0|+p+\varepsilon$ [/mm] für irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ schreiben (was man einmal wählt und dann unverändert läßt). Vielleicht malst Du Dir mal ein Bildchen dazu:
[mm] $x_0$ [/mm] ist fest, $a [mm] \not=x_0$ [/mm] ist fest, wähle ein $p$ mit $0 < p < [mm] |a-x_0|$. [/mm] Wenn Du nun um [mm] $x_0$ [/mm] einen Kreis mit Radius [mm] $x_\varepsilon-x_0$ [/mm] legst, so sollte halt dieser Kreis einen Radius haben, der echt größer ist als [mm] $|a-x_0|+p$, [/mm] damit eben der abgeschlossene Kreis um [mm] $x_0$ [/mm] - mit Radius [mm] $|a-x_0|+p$ [/mm] - ganz in dem anderen enthalten ist. Der geometrische Sinn liegt darin, dass man so auch den abgeschlossenen Kreis um $a$ - mit Radius $p$ - komplett so einfängt, dass sich die Ränder der Kreise nicht berühren, in dem folgenden Sinne:
Der Kreis um [mm] $x_0$ [/mm] mit Radius [mm] $x_\varepsilon [/mm] - [mm] x_0$ [/mm] soll den Kreis um $a$ mit Radius $p$ so enthalten, dass sich deren Ränder nicht berühren.
Der algebraische Sinn liegt später darin, dass wir so eine Variable $C$ erhalten mit $0 < C < 1$ (siehe unten). Sowas benörigt man hier dann wiederum wegen der geometrischen Reihe!)
Mit anderen Worten:
Es existiert
[mm] $f(x_1)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(|a-x_0|+p+1)^k$
[/mm]
Daher existiert insbesondere eine Konstante $M > 0$ mit
[mm] $|f_n(x_1)=|a_n|*(|a-x_0|+p+1)^n \le [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
(Es gilt sogar viel stärker wegen des Trivialkriteriums:
[mm] $f_n(x_1) \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Und als konvergente Folge ist [mm] $(f_n(x_1))_{n \in \IN_0}$ [/mm] insbesondere beschränkt.)
Es folgt für alle $x [mm] \in [/mm] [a-p,a+p]$:
[mm] $|f_n(x)|=|a_n|*|x-x_0|^n=|a_n|*(|a-x_0|+p+1)^n *\left(\frac{|x-x_0|}{|a-x_0|+p+1}\right)^n$ [/mm]
[mm] $\le M*\left(\frac{|x-x_0|}{|a-x_0|+p+1}\right)^n=M*\left(\frac{|a-x_0+x-a|}{|a-x_0|+p+1}\right)^n \le M*\left(\frac{|a-x_0|+|x-a|}{|a-x_0|+p+1}\right)^n \le M*C^n$.
[/mm]
Hierbei ist dann
[mm] $C:=\frac{|a-x_0|+p}{|a-x_0|+p+1} \in [/mm] (0,1)$
Beachte dabei:
Für alle $x$ mit $|x-a| < p$ (also insbesondere für $x [mm] \in [/mm] [a-p,a+p]$) gilt
[mm] $(|a-x_0|+|x-a|)^n \le (|a-x_0|+p)^n$
[/mm]
P.S.:
1.) Wenn Du ähnliches von oben für [mm] $\IC$ [/mm] formulieren wolltest (d.h. alles auf [mm] $\IC$ [/mm] übertragen), so würde man dort zunächst einen Kreis mit Radius [mm] $|a-x_0|+p+1$ [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] legen. Und innerhalb dieses Kreises läge der Kreis um $a$ mit Radius $p$, und zwar wäre der Abschluss des Kreises mit Radius $p$ um $a$ im Inneren des Kreises um [mm] $x_0$ [/mm] mit Radius [mm] $|a-x_0|+p+1$ [/mm] enthalten!
2.) Ich finde obigen Beweis eh etwas unnötig, ich habe ihn nur versucht, so zu retten, wie die Anfangsidee war. Denn die dortige Aussage ist eigentlich trivial:
Die Potenzreihe oben hat nämlich den Konvergenzradius [mm] $\infty$, [/mm] und mit Satz 16.5 oder Satz 29.6 des folgenden Skriptums ist obige Aussage trivial
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
3.) Ich habe Dir doch ein kleines Bildchen mal dazugemalt. Die Kreise stimmen leider nur andeutungsweise, da ich es nicht besser mit Paint zu malen wußte. Der Punkt [mm] $x_1=x_0+|a-x_0|+p+1$ [/mm] ist der rechte Randpunkt des roten Kreises auf der $x$-Achse, und Du siehst, dass der Abschluss des blauen Kreises im Inneren des roten Kreises liegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Sinn, dass ich Kreise und nicht nur Intervalle (also deren Schnitt mit der $x$-Achse) "gezeichnet" habe, wird Dir vielleicht klarer, wenn Du Dir das ganze in Analogie auf [mm] $\IC$ [/mm] zu übertragen versuchst. Im Prinzip enthält das Bild für den "rellen" Fall eigentlich mehr Informationen als benötigt.
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Marcel,
herzlichen Dank für Deine überaus ausführliche Antwort. Ich versuch grad das alles nachzuvollziehen.
Leider verstehe ich schon den Ansatz nicht.
Dieses p macht mir da Schwierigkeiten. Dies wird einfach aus der Luft gegriffen für die Intervallgrenzen zu Auswahl der x, bei denen die Reihe konvergieren soll, verwendet.
Doch welche Eigenschaften muss dieses p haben? Ich vermisse weitere Einschränkungen für p als nur [mm]0
Sei [mm]r[/mm] der Konvergenzradius der Potenzreihe und es gelte [mm]0
Sei des Weiteren [mm]p:=\frac{1}{2}|a-x_0|[/mm], das sollte man ja so wählen können, da nur [mm]0
So sind sicher nicht notwendig alle x mit [mm]|x-x_0|\le|a-x_0|+p+1[/mm] innerhalb des Konvergenzradius.
Ich verstehe generell die Struktur des Beweises nicht. Es wird von einem p gesprochen, mit dem gewisse Dinge gelten sollen. Aber nun kommt im Beweiss nicht etwa ein Existenzbeweis für dieses p, sondern vielmehr wird es als gegeben vorausgesetzt und für andere Dinge benutzt.
Oder soll man hier ganz selbstverständlich davon ausgehen, dass [mm]p\le r-|a-x_0|[/mm] ?
Naja, auch wenn ich es immer noch nicht durchblicke... , nochmal vielen herzlichen Dank für die viele Mühe, die Du da rein gesteckt hast (obwohl der größte Dank wohl wäre, dass ich das verstehen könnt..)
Greez,
Lorenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lorenz,
da [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$ [/mm] für alle $a [mm] \not=x_0$ [/mm] konvergieren soll, konvergiert die Reihe auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] (offensichtlich ist $f$ auch im Punkte [mm] $x=x_0$ [/mm] konvergent, es gilt ja [mm] $f(x_0)=a_0$). [/mm] Daher hat die Potenzreihe den Konvergenzradius [mm] $\infty$. [/mm] Ist das soweit klar?
Zudem steht doch oben, dass für alle $p$ mit $0 < p < [mm] |a-x_0|$ [/mm] gelten soll, dass f auf $[a-p,a+p]$ gleichmäßig konvergiert. Dass [mm] $P=P(a)=P(a,x_0):=\{p \in \IR: 0 < p < |a-x_0|\} \not=\emptyset$, [/mm] das liegt daran, dass $a [mm] \not=x_0$, [/mm] denn daher ist z.B. $0 < [mm] p_1:=\frac{|a-x_0|}{2} [/mm] < [mm] |a-x_0|$, [/mm] d.h. [mm] $p_1 \in [/mm] P$.
Oben steht nun, dass $f$ in allen $x [mm] \in \IR$ [/mm] konvergiert. Behauptet wird dann: Für alle $p [mm] \in [/mm] P$ gilt, dass $f$ glm. auf $[a-p,a+p]$ konvergiere.
Dazu betrachte ich nun den Punkt [mm] $x_1:=x_0+|a-x_0|+p+1$. [/mm] Insbesondere konvergiert $f$ in [mm] $x_1$.
[/mm]
Für jedes beliebige, aber feste $p [mm] \in [/mm] P$ gilt nun:
Für alle $x [mm] \in [/mm] [a-p,a+p]$ folgt
[mm] $|x-x_0| \le |a-x_0|+\underbrace{|x-a|}_{ \le p, \mbox{ da } x \in [a-p,a+p]} \le |a-x_0|+p$
[/mm]
Und damit bekommt man dann:
Für jedes $p [mm] \in [/mm] P$ gilt: Für alle $x [mm] \in [/mm] [a-p,a+p]$ gilt:
$|f(x)| [mm] \le \sum_{k=0}^\infty (M*C^k)$ $\left(=\frac{M}{1-C}\right)$, [/mm] wobei [mm] $C=C(a,x_0,p)$ [/mm] und $C [mm] \in [/mm] (0,1)$, d.h. die durch $f$ dargestellte Reihe wird auf $[a-p,a+p]$ durch eine geometrische dominiert, insbesondere ist daher die durch $f$ dargestellte Reihe auf $[a-p,a+p]$ glm. konvergent.
Wenn Dir das ganze immer noch unklar ist:
Nehmen wir einfach mal [mm] $x_0=5$. [/mm] Die obige Reihe konvergiert dann für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Sie konvergiert also insbesondere für $a=7$ und damit ist dann $a=7 [mm] \not=5 =x_0$.
[/mm]
Die Behauptung hieße dann für diese konkreten Werte für $a$ und [mm] $x_0$:
[/mm]
f konvergiert gleichmäßig auf allen Intervallen $[a-p,a+p]=[7-p,7+p]$, sofern nur $0 < p < [mm] |a-x_0|=|7-5|=2$.
[/mm]
D.h. zu zeigen wäre dann:
Für alle $0 < p < 2$ gilt, dass $f$ glm. auf dem Intervall $[7-p,7+p]$ konvergiert. Mach' Dir das mal zunächst meinetwegen mit konkreten Zahlen klar.
Und dann mach' Dir nochmal die Aufgabe klar, man könnte sie auch so formulieren:
Ist [mm] $x_0$ [/mm] fest, so gilt:
Ist $a [mm] \in \IR \backslash\{x_0\}$ [/mm] beliebig, aber fest, so gilt:
Ist $p$ irgendeine Zahl mit $0 < p < [mm] |a-x_0|$ [/mm] (und die Existenz einer solchen ist wegen $a [mm] \not=x_0$ [/mm] gesichert!), so konvergiert $f$ glm. auf dem Intervall [a-p+a+p].
Mit anderen Worten:
Bei dem Beweis ist das [mm] $x_0$ [/mm] gegeben. Dann wählst Du irgendein $a [mm] \not=x_0$. [/mm] Der Abstand zwischen $a$ und [mm] $x_0$ [/mm] ist wegen $a [mm] \not=x_0$ [/mm] ein echter Abstand, d.h. [mm] $|a-x_0| [/mm] > 0$. Dann wählst Du irgendein Zahl zwischen $0$ und [mm] $|a-x_0|$, [/mm] diese nennst Du $p$. Und diese Zahlen kannst Du nun als einmal fest gewählt betrachten. Zu zeigen bleibt nur, dass dann $f$ auf $[a-p,a+p]$ glm. konvergiert. Wie das geht, steht oben. Weil die Zahl $a$ beliebig gewählt wurde (einzige Voraussetzung: $a [mm] \not=x_0$), [/mm] $p$ irgendeine Zahl mit $0 < p < [mm] |a-x_0|$ [/mm] war und man somit gezeigt hat, dass $f$ auf $[a-p,a+p]$ glm. konvergiert, gilt:
Für alle $a [mm] \not=x_0$: [/mm] Für alle $p$ mit $0 < p < [mm] |a-x_0|$ [/mm] gilt: $f$ konvergiert glm. auf [a-p,a+p]. Das war zu zeigen.
Gruß,
Marcel
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