Funktionenreihe /Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
I ist ein nichtleeres, beschränktes Intervall
[mm] (f_n) [/mm] eine Folge in [mm] Abb(I,\IR), [/mm] so dass die
Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} f_n [/mm] gleichmäßig konvergent
ist und jedes [mm] f_n [/mm] eine Stammfunktion besitzt.
Ich möchte zeigen, dass zu jedem [mm] f_n [/mm] eine
Stammfunktion [mm] F_n [/mm] derart existiert, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} F_n
[/mm]
gleichmäßig gegen eine diffbare Funktion F : I [mm] \to \IR
[/mm]
konvergiert mit [mm] F'(x)=\summe_{n=1}^{\infty} f_n(x) [/mm] für jedes [mm] x\in [/mm] I.
Wie setze ich da am Besten an? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ich denke es geht irgendwie über gliedweise Integration...aber ich
komme nicht wirklich weiter.
Danke für Tipps,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:15 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
> Hallo,
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> I ist ein nichtleeres, beschränktes Intervall
> [mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]Abb(I,\IR),[/mm] so dass die
> Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_n[/mm] gleichmäßig konvergent
> ist und jedes [mm]f_n[/mm] eine Stammfunktion besitzt.
> Ich möchte zeigen, dass zu jedem [mm]f_n[/mm] eine
> Stammfunktion [mm]F_n[/mm] derart existiert, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} F_n[/mm]
> gleichmäßig gegen eine diffbare
> Funktion F : I [mm]\to \IR[/mm]
> konvergiert mit
> [mm]F'(x)=\summe_{n=1}^{\infty} f_n(x)[/mm] für jedes [mm]x\in[/mm] I.
>
> Wie setze ich da am Besten an?
> Ich denke es geht irgendwie über gliedweise
> Integration...aber ich
> komme nicht wirklich weiter.
>
> Danke für Tipps,
> Anna
Hallo Anna,
nachdem ich hier zunächst (zu) viel Mist geschrieben hatte, wie mir im Nachhinein bewußt wird:
Benutze ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 15.15.2 [mm] ($\leftarrow$ bitte anklicken), wobei Du o.B.d.A. $I$ als kompakt annehmen kannst (Warum?) und daher dann $I=[a,b]$ darstellbar ist mit geeigneten $-\infty < a \le b < \infty$ und den HDI (Satz 17.13)
Weil $I$ ja beschränkt ist und daher o.B.d.A. als kompakt angenommen werden kann, liefert Dir Satz 15.15.2 nicht nur die lokal glm. Konvergenz, sondern sogar glm. Konvergenz auf $I$.
Zu später Stunde denke ich wohl viel zu kompliziert und falsch ^^, daher auch die Liste der Edits, die nun länger als mein Beitrag ist (kann man die nicht verkleinern oder ausblenden? :D) ;-)
Allerdings brauchst Du noch die Zusatzvoraussetzung, dass $\sum_{k=1}^\infty F_k$ in mindestens einem $x_0 \in I$ (punktweise) konvergiert (also die Konvergenz von $\sum_{k=1}^\infty F_k(x_0)$ für wenigstens ein $x_0 \in I$), sonst geht sowieso alles schief (vgl. Bem. 15.15.3)
Um diese zu haben, machst Du folgendes:
Wähle irgendein $x_0 \in I$. Dann definiere die $F_n$ für $x \in I$ durch
$$
F_n(x):=\int_{x_0}^x f_n(t)\;dt
$$
(Nach dem [/mm] HDI für Lebesgue-Integrale gilt dann [mm] $F_n\!'(x)=f_n(x)$ [/mm] fast überall auf $I$.)
Ferner definiere dann $F$ für $x [mm] \in [/mm] I$ durch
$$
[mm] F(x)=\sum_{k=1}^\infty F_k(x)
[/mm]
$$
Was ist dann [mm] $F_k(x_0)$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$? [/mm] Was bedeutet das für [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k(x_0)$?
[/mm]
In welchem Zusammenhang stehen [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k(x)$ [/mm] und [mm] $\int_{x_0}^x \sum_{k=1}^\infty f_k(t)\;dt$ [/mm] und was hilft Dir das nun mit den obigen Sätzen?
Wobei man hier sicherlich überlegen muss, dass man mit dem Begriff "fast überall auf $I$" arbeiten muss und sich vor allem mal überlegen muss, ob die Aussagen auch in Analogie mit "fast überall auf $I$" gelten...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen vielen DANK für Deine Antwort und die Zeit, die Du Dir dafür
genommen hast.
> Benutze
> Bemerkung 15.15.2
Leider komme ich gerade nicht darauf, wie mir dieser Satz konkret nutzt.
Denn dort wird ja
[mm] (\summe_{n=1}^{\infty} f_n(x))'=\summe_{n=1}^{\infty} f_n'(x) [/mm]
und nicht
[mm] F'(x)=\summe_{n=1}^{\infty} f_n(x) [/mm]
gezeigt. Oder was habe ich da falsch verstanden?
> ([mm]\leftarrow[/mm] bitte anklicken), wobei Du o.B.d.A. [mm]I[/mm] als
> kompakt annehmen kannst (Warum?) und daher dann [mm]I=[a,b][/mm]
> darstellbar ist mit geeigneten [mm]-\infty < a \le b < \infty[/mm]
> und den HDI (Satz 17.13)
>
> Weil [mm]I[/mm] ja beschränkt ist und daher o.B.d.A. als kompakt
> angenommen werden kann, liefert Dir Satz 15.15.2 nicht nur
> die lokal glm. Konvergenz, sondern sogar glm. Konvergenz
> auf [mm]I[/mm].
Von F, [mm] F_n [/mm] oder von [mm] f_n? [/mm] Von [mm] f_n [/mm] ist diese ja sowieso schon vorausgesetzt.
>
> Zu später Stunde denke ich wohl viel zu kompliziert und
> falsch ^^, daher auch die Liste der Edits, die nun länger
Geht mir auch oft so ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> als mein Beitrag ist (kann man die nicht verkleinern oder
> ausblenden? :D) 
Ich glaube nicht. Macht doch aber nichts Ich freue mich, dass Du mir
hilfst!
> Allerdings brauchst Du noch die Zusatzvoraussetzung, dass
> [mm]\sum_{k=1}^\infty F_k[/mm] in mindestens einem [mm]x_0 \in I[/mm]
> (punktweise) konvergiert (also die Konvergenz von
> [mm]\sum_{k=1}^\infty F_k(x_0)[/mm] für wenigstens ein [mm]x_0 \in I[/mm]),
> sonst geht sowieso alles schief (vgl. Bem. 15.15.3)
Ich soll doch sogar zeigen, dass [mm] \sum_{k=1}^\infty F_k [/mm] gleichmäßig konvergiert?!
> Um diese zu haben, machst Du folgendes:
> Wähle irgendein [mm]x_0 \in I[/mm]. Dann definiere die [mm]F_n[/mm] für [mm]x \in I[/mm]
> durch
> [mm][/mm]
> [mm]F_n(x):=\int_{x_0}^x f_n(t)\;dt[/mm]
> [mm][/mm]
>
> (Nach dem
> HDI für Lebesgue-Integrale
> gilt dann [mm]F_n\!'(x)=f_n(x)[/mm] fast überall auf [mm]I[/mm].)
>
> Ferner definiere dann [mm]F[/mm] für [mm]x \in I[/mm] durch
> [mm][/mm]
> [mm]F(x)=\sum_{k=1}^\infty F_k(x)[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Was ist dann [mm]F_k(x_0)[/mm] für alle [mm]k \in \IN[/mm]? Was bedeutet das
Das ist gleich Null? Also eine Nullfolge?
> für [mm]\sum_{k=1}^\infty F_k(x_0)[/mm]?
Auch Null?!
> In welchem Zusammenhang stehen [mm]\sum_{k=1}^\infty F_k(x)[/mm] und
> [mm]\int_{x_0}^x \sum_{k=1}^\infty f_k(t)\;dt[/mm] und was hilft Dir
Also wegen der gliedweisen Integration, die man ja ausüben darf,
kann man die gleich setzen? Aber nur, wenn t=x? Hm.
> das nun mit den obigen Sätzen?
Das ist mir eben noch nicht ganz klar :-(
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
naja, meine Idee war:
Wähle ein festes [mm] $x_0 \in [/mm] I$. Nun definiere für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$F_n(x):=\int_{x_0}^x f_n(t)\;dt\;\;\;\;(x \in [/mm] I).$$
Insbesondere gilt dann für jedes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $$F_n(x_0)=0.$$
[/mm]
Jetzt haben wir aber schon einen ersten Haken, wir brauchen nämlich eine Zusatzannahme, die ich jetzt einfach mal mache:
Ich nehme einfach an, dass die [mm] $f_n$ [/mm] alle stetig auf $I$ seien (was man i.a. natürlich gar nicht machen kann).
Dann gilt nämlich nach Satz 17.13.2 (dem HDI):
Für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] I$ kann man schreiben:
[mm] $$F_k'(x)=f_k(x).$$
[/mm]
Definieren wir nun [mm] $$F(x):=\sum_{k=1}^\infty F_k(x)=\sum_{k=1}^\infty \int_{x_0}^x f_k(t)\;dt\;\;\;\;(x \in [/mm] I),$$
so gilt folgendes für alle $k [mm] \in \IN$:
[/mm]
Es ist [mm] $F_k'=f_k$ [/mm] auf $I$ (wie gesagt, jedenfalls unter der Zusatzannahme, dass alle [mm] $f_k$ [/mm] stetig seien).
Nach Satz 15.15.2 gilt daher:
Die (Funktionen-)Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k$ [/mm] konvergiert lokal gleichmäßig auf $I$, denn die Voraussetzungen für 15.15.2 sind gegeben:
Es gilt wegen dem HDI, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k'=\sum_{k=1}^\infty f_k$ [/mm] und nach Voraussetzung ist letztstehende (Funktionen-)Reihe gleichmäßig konvergent auf $I$. Außerdem ist die (Funktionen-)Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k$ [/mm] konvergent im Punkte [mm] $x_0 \in [/mm] I$, da [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k(x_0)=\sum_{k=1}^\infty [/mm] 0=0$.
Das beinhaltet, weil $I$ ein nichtleeres, beschränktes Intervall von [mm] $\IR$ [/mm] ist, insbesondere, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k$ [/mm] gleichmäßig auf $I$ konvergiert.
($I [mm] \subset \overline{I}$, [/mm] wenn [mm] $\overline{I}$ [/mm] den Abschluss von [mm] $\black{I}$ [/mm] bezeichne und hier ist [mm] $\overline{I}$ [/mm] kompakt, woraus Du die Behauptung schnell folgern kannst, weil damit dann auch jede offene Überdeckung von $I$ eine endliche Teilüberdeckung hat etc. pp..)
Weiter gilt nach Bemerkung 15.15.2 nun auch, dass $F$ auf $I$ differenzierbar ist mit:
Für alle $x [mm] \in [/mm] I$ gilt
[mm] $$F'(x)=\left(\sum_{k=1}^\infty F_k(x)\right)'=\sum_{k=1}^\infty F_k'(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k(x).$$
[/mm]
Mein Problem an der Sache ist: Wenn man die Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] auf $I$ nicht voraussetzt, sondern wirklich nur die Existenz einer Stammfunktion (für jedes [mm] $f_n$), [/mm] so bekommt man mit dem HDI für Lebesgue-Integrale nur die Differenzierbarkeit von [mm] $\sum_{k=1}^\infty F_k$ [/mm] und deren glm. Konvergenz fast überall auf $I$, und das ist - laut Aufgabenstellung - zu wenig. Ich glaube auch nicht, dass das für Riemann-Integrale anders aussieht. Ich denke, es wurde einfach vergessen, die Stetigkeit der [mm] $f_n$ [/mm] auf $I$ mit vorauszusetzen? Ansonsten sehe ich gerade nicht, wie man den Satz beweisen wollte, es sei denn, ihr habt den Begriff der Stammfunktion etwas anders eingeführt als so, wie er mir geläufig ist?!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
DANKE für Deine Antwort! Ich bin noch dabei sie zu verinnerlichen,
aber vorab schon einmal:
> Mein Problem an der Sache ist: Wenn man die Stetigkeit der
> [mm]f_n[/mm] auf [mm]I[/mm] nicht voraussetzt, sondern wirklich nur die
> Existenz einer Stammfunktion (für jedes [mm]f_n[/mm]), so bekommt
> man mit dem HDI für Lebesgue-Integrale nur die
> Differenzierbarkeit von [mm]\sum_{k=1}^\infty F_k[/mm] und deren
> glm. Konvergenz fast überall auf [mm]I[/mm], und das ist - laut
> Aufgabenstellung - zu wenig. Ich glaube auch nicht, dass
> das für Riemann-Integrale anders aussieht. Ich denke, es
> wurde einfach vergessen, die Stetigkeit der [mm]f_n[/mm] auf [mm]I[/mm] mit
> vorauszusetzen? Ansonsten sehe ich gerade nicht, wie man
> den Satz beweisen wollte, es sei denn, ihr habt den Begriff
> der Stammfunktion etwas anders eingeführt als so, wie er
> mir geläufig ist?!
Also wir haben es so eingeführt, dass ich aufgrund "unserer" Sätze sagen kann,
dass F eine Stammfunktion von f ist, wenn F differenzierbar ist auf I (Intervall)
ist und F'=f gilt.
Und differenzierbar schließt doch die Stetigkeit mit ein?!
Bzw. es ist ja [mm] f_n [/mm] eine Folge in R(I). Und es gilt doch C(I) [mm] \subset [/mm] R(I).
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
> Hallo Marcel,
>
> DANKE für Deine Antwort! Ich bin noch dabei sie zu
> verinnerlichen,
> aber vorab schon einmal:
>
> > Mein Problem an der Sache ist: Wenn man die Stetigkeit der
> > [mm]f_n[/mm] auf [mm]I[/mm] nicht voraussetzt, sondern wirklich nur die
> > Existenz einer Stammfunktion (für jedes [mm]f_n[/mm]), so bekommt
> > man mit dem HDI für Lebesgue-Integrale nur die
> > Differenzierbarkeit von [mm]\sum_{k=1}^\infty F_k[/mm] und deren
> > glm. Konvergenz fast überall auf [mm]I[/mm], und das ist - laut
> > Aufgabenstellung - zu wenig. Ich glaube auch nicht, dass
> > das für Riemann-Integrale anders aussieht. Ich denke, es
> > wurde einfach vergessen, die Stetigkeit der [mm]f_n[/mm] auf [mm]I[/mm] mit
> > vorauszusetzen? Ansonsten sehe ich gerade nicht, wie man
> > den Satz beweisen wollte, es sei denn, ihr habt den Begriff
> > der Stammfunktion etwas anders eingeführt als so, wie er
> > mir geläufig ist?!
>
> Also wir haben es so eingeführt, dass ich aufgrund
> "unserer" Sätze sagen kann,
> dass F eine Stammfunktion von f ist, wenn F
> differenzierbar ist auf I (Intervall)
> ist und F'=f gilt.
> Und differenzierbar schließt doch die Stetigkeit mit
> ein?!
Ja, aber nur für die Funktion, die differenziert wird. Die Ableitung kann alles andere als stetig sein. D.h., gegeben haben wir hier nur:
Die [mm] $F_n$ [/mm] sind alle auf $I$ differenzierbar und damit sind die [mm] $F_n$ [/mm] insbesondere auf $I$ stetig. Allerdings benötigten wir, dass die [mm] $f_n$ [/mm] alle auf $I$ stetig sind.
> Bzw. es ist ja [mm]f_n[/mm] eine Folge in R(I). Und es gilt doch
> C(I) [mm]\subset[/mm] R(I).
Naja, zum einen hast Du nicht erwähnt, dass [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine Folge in $R(I)$ ist, sondern Du hast geschrieben, dass [mm] $f_n \in Abb(I,\IR)$.
[/mm]
Zum anderen nützt Dir auch das nichts, denn $C(I) [mm] \subset [/mm] R(I)$ bedeutet ja nicht, dass jede $R(I)$-Funktion auch stetig auf $I$ ist, sondern dass jede $C(I)$-Funktion auch in $R(I)$ liegt. Wir bräuchten aber, dass jede $R(I)$-Funktion auch stetig auf $I$ ist, und das ist leider nicht beweisbar, da $C(I)$ eine echte Teilmenge von $R(I)$ ist.
Mein obiger Beweis funktioniert so also nur, wenn alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig auf $I$ sind. Hast Du vll. einen Link zum Aufgabenblatt? Vll. steht ja doch noch irgendwas hilfreiches drauf...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> > Bzw. es ist ja [mm]f_n[/mm] eine Folge in R(I). Und es gilt doch
> > C(I) [mm]\subset[/mm] R(I).
>
> Naja, zum einen hast Du nicht erwähnt, dass [mm](f_n)_n[/mm] eine
> Folge in [mm]R(I)[/mm] ist, sondern Du hast geschrieben, dass [mm]f_n \in Abb(I,\IR)[/mm].
Stand da ja auch nicht, ich hatte nur selbst angenommen, dass
[mm] f_n [/mm] eine Folge in R(I) ist.
> Zum anderen nützt Dir auch das nichts, denn [mm]C(I) \subset R(I)[/mm]
> bedeutet ja nicht, dass jede [mm]R(I)[/mm]-Funktion auch stetig auf
> [mm]I[/mm] ist, sondern dass jede [mm]C(I)[/mm]-Funktion auch in [mm]R(I)[/mm] liegt.
Ach ja, stimmt.
> Wir bräuchten aber, dass jede [mm]R(I)[/mm]-Funktion auch stetig auf
> [mm]I[/mm] ist, und das ist leider nicht beweisbar, da [mm]C(I)[/mm] eine
> echte Teilmenge von [mm]R(I)[/mm] ist.
>
> Mein obiger Beweis funktioniert so also nur, wenn alle [mm]f_n[/mm]
> stetig auf [mm]I[/mm] sind. Hast Du vll. einen Link zum
> Aufgabenblatt? Vll. steht ja doch noch irgendwas
> hilfreiches drauf...
Ich hatte die komplette Aufgabenstellung so abgeschrieben. Es stand nur
noch in Klammern am Ende ein Verweis auf das Script bzw. das gliedweise
Bilden der Stammfunktion.
Hilft also nicht wirklich, oder?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
> > Mein obiger Beweis funktioniert so also nur, wenn alle [mm]f_n[/mm]
> > stetig auf [mm]I[/mm] sind. Hast Du vll. einen Link zum
> > Aufgabenblatt? Vll. steht ja doch noch irgendwas
> > hilfreiches drauf...
>
> Ich hatte die komplette Aufgabenstellung so abgeschrieben.
> Es stand nur
> noch in Klammern am Ende ein Verweis auf das Script bzw.
> das gliedweise
> Bilden der Stammfunktion.
>
> Hilft also nicht wirklich, oder?
nein, zumindest nicht, wenn nicht klar ist, dass die Funktionen [mm] $F_k$ [/mm] - wie oben definiert - Stammfunktionen der [mm] $f_k$ [/mm] sind. Das würden wir mit Satz 17.13.2 erhalten, aber dann benötigte man, wie gesagt, dass die [mm] $f_k$ [/mm] alle stetig auf $I$ wären, was hier nirgends erwähnt wird.
(Vermutlich könnte man auch die Aussage in 17.13.2 so formulieren, dass jedes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ ein Lebesguepunkt für $f$ sei, aber ich weiß' nicht, ob Dir der Begriff des Lebesguepunktes geläufig ist...)
Wenn die Funktionenreihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty f_k$ [/mm] glm. konvergiert, so gilt zwar die Aussage, dass Du gliedweise integrieren kannst (Satz 17.20). Aber dann ist schon unklar, ob die Reihe, die durch gliedweise Integration entstanden ist, überhaupt differenzierbar ist und noch viel unklarer ist, ob sie glm. konvergiert.
In welchem Zusammenhang steht denn die Aufgabe? Wenn es um Potenzreihen geht, so läßt sich da vll. das ganze noch retten, weil Potenzreihen innerhalb des Konvergenzradius sicherlich die Voraussetzungen von 15.15.2 erfüllen. Alternativ ließe sich das sicher mit Satz 29.6 zeigen, dass - für Potenzreihen - dann auch 15.15.2 anwendbar ist...
Also:
Wenn dort nur steht, dass die [mm] $f_k$ [/mm] Stammfunktionen haben sollen, bin ich ehrlich gesagt, stark daran am Zweifeln, ob die Aussage in dieser Form überhaupt gilt. Übrigens folgt aus der Existenz einer Stammfunktion auch nicht, dass die Funktion Regel-int'bar ist, vgl. Bemerkung 17.19.2
Also auch Deine Annahme, dass [mm] $f_n \in [/mm] R(I)$ alle seien, ist schon eine Zusatzannahme, wenngleich meine Zusatzannahme, dass alle [mm] $f_n$ [/mm] in $C(I)$ liegen, eine noch stärkere ist...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
erstmal DANKE, dass Du Dir so viel Mühe machst, um mir zu helfen!
Schon seltsam. Die Aufgabe davor - also Aufgabe a) - war diese hier:
https://matheraum.de/read?t=424152
Aber die ist ja für sich, sonst hätte man ja nicht in dieser hier noch einmal
[mm] (f_n) [/mm] neu definiert?
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mhm, ja, vll. wollte der Aufgabensteller schreiben, dass [mm] $(f_n)$ [/mm] eine Folge in $C(I)$ sei und hat das vergessen? Denn damit wäre alles gut ^^
Und was sollte es uns bringen, zu wissen, dass alle [mm] $f_n: [/mm] I [mm] \to \IR$ [/mm] Stammfunktionen haben? Wir brauchen ja hier eine spezielle Form der Stammfunktion für jedes [mm] $f_n$, [/mm] nämlich [mm] $F_n(x)=\int_{x_0}^x f_n(t)\;dt$, [/mm] um den HDI und 15.15.2 benutzen zu können...
Ansonsten wird das irgendwie komplex bzw. ich weiß nicht, ob die Aussage dann überhaupt haltbar bleibt, wenn man nicht hat, dass [mm] $(f_n)$ [/mm] eine Folge in $C(I)$ ist...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> mhm, ja, vll. wollte der Aufgabensteller schreiben, dass
> [mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]C(I)[/mm] sei und hat das vergessen? Denn
> damit wäre alles gut ^^
Ja, das kann gut sein. Letztens war auch schon mal ein Tippfehler in einer
Aufgabe.
> Und was sollte es uns bringen, zu wissen, dass alle [mm]f_n: I \to \IR[/mm]
> Stammfunktionen haben? Wir brauchen ja hier eine spezielle
> Forme der Stammfunktion für jedes [mm]f_n[/mm], nämlich
> [mm]F_n(x)=\int_{x_0}^x f_n(t)\;dt[/mm], umd den HDI und 15.15.2
> benutzen zu können...
> Ansonsten wird das irgendwie komplex bzw. ich weiß nicht,
> ob die Aussage dann überhaupt haltbar bleibt, wenn man
> nicht hat, dass [mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]C(I)[/mm] ist...
Und wenn ich dann noch betrachte, dass diese Teilaufgabe mit
super wenig Punkten bewertet wird, dann ist das schon seltsam.
Wie dem auch sei, ich danke Dir für Deine Hilfe. Mir ist dadurch zumindest
vieles klarer geworden. Für die Aufgabe selbst werde ich nun einfach
die Stetigkeit voraussetzen.
Übrigens fällt mir gerade auf, dass die nächste Aufgabe, also c), dann lautet:
Untersuchen Sie, ob die Behauptung in b) für jede Folge [mm] (F_n), F_n
[/mm]
Stammfunktion von [mm] f_n, [/mm] zutrifft.
Hilft das weiter?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > mhm, ja, vll. wollte der Aufgabensteller schreiben, dass
> > [mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]C(I)[/mm] sei und hat das vergessen? Denn
> > damit wäre alles gut ^^
>
> Ja, das kann gut sein. Letztens war auch schon mal ein
> Tippfehler in einer
> Aufgabe.
>
> > Und was sollte es uns bringen, zu wissen, dass alle [mm]f_n: I \to \IR[/mm]
> > Stammfunktionen haben? Wir brauchen ja hier eine spezielle
> > Forme der Stammfunktion für jedes [mm]f_n[/mm], nämlich
> > [mm]F_n(x)=\int_{x_0}^x f_n(t)\;dt[/mm], umd den HDI und 15.15.2
> > benutzen zu können...
> > Ansonsten wird das irgendwie komplex bzw. ich weiß
> nicht,
> > ob die Aussage dann überhaupt haltbar bleibt, wenn man
> > nicht hat, dass [mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]C(I)[/mm] ist...
>
> Und wenn ich dann noch betrachte, dass diese Teilaufgabe
> mit
> super wenig Punkten bewertet wird, dann ist das schon
> seltsam.
> Wie dem auch sei, ich danke Dir für Deine Hilfe. Mir ist
> dadurch zumindest
> vieles klarer geworden. Für die Aufgabe selbst werde ich
> nun einfach
> die Stetigkeit voraussetzen.
ich würde vorschlagen, Du gehst einfach mal den Aufgabensteller fragen, falls noch genügend Zeit dafür ist...
> Übrigens fällt mir gerade auf, dass die nächste Aufgabe,
> also c), dann lautet:
> Untersuchen Sie, ob die Behauptung in b) für jede Folge
> [mm](F_n), F_n[/mm]
> Stammfunktion von [mm]f_n,[/mm] zutrifft.
> Hilft das weiter?
Da ist die Aufgabe schlecht formuliert. Denn sofern ich das richtig sehe, heißt das ja nicht, dass die [mm] $\sum_{k=1}^\infty f_k$ [/mm] nun nicht mehr glm. konvergent auf $I$ sei, was man dieser Formulierung der Aufgabenstellung aber durchaus entnehmen könnte.
Ich nehme einfach an, dass bei Teil b) die Aussage, dass [mm] "$(f_n)$ [/mm] eine Folge in [mm] $Abb(I,\IR)$" [/mm] ersetzen ist durch [mm] "$(f_n)$ [/mm] eine Folge in $C(I)$" (oder [mm] $C(I,\IR)$, [/mm] welche Notation auch immer ihr da verwendet).
Und bei Aufgabenteil c) sollte man halt annehmen, dass alles wie bei b) gelte, nur, dass hier nicht mehr [mm] "$(f_n)$ [/mm] Folge in $C(I)$" gelte, sondern nur [mm] "$(f_n)$ [/mm] Folge in [mm] $Abb(I,\IR)$"
[/mm]
Das würde zum einen erklären, wie die Aussage b) formuliert wohl wirklich heißen sollte, zum anderen, warum dort anstelle von $C(I)$ einfach [mm] $Abb(I,\IR)$ [/mm] steht, denn vermutlich wollte man das bei Teil c) hinschreiben, hat sich dann dagegen entschlossen und so wurde einiges an den Voraussetzungen in dieser Aufgabe chaotisch, womit der Aufgabenteil eigentlich wohl falsch wird. Ich würde den Aufgabensteller - wie gesagt - darauf ansprechen, auch im Nachhinein, denn eigentlich kann man, wenn die Aufgabe so wirklich in chaotischer Weise einfach falsch gestellt wurde, die Aufgabe nur mit Extrapunkten versehen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Di 01.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Marcel,
> ich würde vorschlagen, Du gehst einfach mal den
> Aufgabensteller fragen, falls noch genügend Zeit dafür
> ist...
>
> Da ist die Aufgabe schlecht formuliert. Denn sofern ich das
> richtig sehe, heißt das ja nicht, dass die
> [mm]\sum_{k=1}^\infty f_k[/mm] nun nicht mehr glm. konvergent auf [mm]I[/mm]
> sei, was man dieser Formulierung der Aufgabenstellung aber
> durchaus entnehmen könnte.
>
> Ich nehme einfach an, dass bei Teil b) die Aussage, dass
> "[mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]Abb(I,\IR)[/mm]" ersetzen ist durch "[mm](f_n)[/mm]
> eine Folge in [mm]C(I)[/mm]" (oder [mm]C(I,\IR)[/mm], welche Notation auch
> immer ihr da verwendet).
>
> Und bei Aufgabenteil c) sollte man halt annehmen, dass
> alles wie bei b) gelte, nur, dass hier nicht mehr "[mm](f_n)[/mm]
> Folge in [mm]C(I)[/mm]" gelte, sondern nur "[mm](f_n)[/mm] Folge in
> [mm]Abb(I,\IR)[/mm]"
>
> Das würde zum einen erklären, wie die Aussage b) formuliert
> wohl wirklich heißen sollte, zum anderen, warum dort
> anstelle von [mm]C(I)[/mm] einfach [mm]Abb(I,\IR)[/mm] steht, denn vermutlich
> wollte man das bei Teil c) hinschreiben, hat sich dann
> dagegen entschlossen und so wurde einiges an den
> Voraussetzungen in dieser Aufgabe chaotisch, womit der
> Aufgabenteil eigentlich wohl falsch wird. Ich würde den
> Aufgabensteller - wie gesagt - darauf ansprechen, auch im
> Nachhinein, denn eigentlich kann man, wenn die Aufgabe so
> wirklich in chaotischer Weise einfach falsch gestellt
> wurde, die Aufgabe nur mit Extrapunkten versehen.
Ja, sehe ich auch so. Gut, ich brauche die Punkte nicht unbedingt.
Mir geht es da mehr um die Übung und den Lerneffekt. Vor Abgabe
schaffe ich es auch nicht mehr da an richtiger Stelle nachzuhaken.
Aber ich werde das auf jeden Fall tun. Ich bin gespannt, was man dazu
sagt! Ich danke Dir für Deine Hilfe! Wenn ich Nachricht habe zu der
Aufgabe, kann ich das ja gerne nochmal dazu posten, wenn es (Dich)
interessieren sollte.
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
> Ja, sehe ich auch so. Gut, ich brauche die Punkte nicht
> unbedingt.
ich sehe das immer auch sozial, es könnte andere geben, die auf die Punkte angewiesen sein könnten und sie nicht bekommen, obwohl sie sich Mühe mit der Aufgabe gegeben hatten, aber sie in dieser Form falsch gestellt war. Also alleine vom sozialen Standpunkt her sollte man schon nachhaken
> Mir geht es da mehr um die Übung und den Lerneffekt.
Das ist vorbildlich 
> Vor
> Abgabe
> schaffe ich es auch nicht mehr da an richtiger Stelle
> nachzuhaken.
> Aber ich werde das auf jeden Fall tun. Ich bin gespannt,
> was man dazu
> sagt! Ich danke Dir für Deine Hilfe! Wenn ich Nachricht
> habe zu der
> Aufgabe, kann ich das ja gerne nochmal dazu posten, wenn
> es (Dich)
> interessieren sollte.
Ja, gerne, das würde mich schon interessieren. Ich bin der Ansicht, dass man für die Lösung der Aufgabe wenigstens so etwas braucht, wie das alle $x [mm] \in [/mm] I$ Lebesguepunkte für alle [mm] $f_n$ [/mm] sind, was z.B. gegeben wäre, wenn alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig auf $I$ wären. Ansonsten muss man mit "fast überall" arbeiten und ich kann mir nicht vorstellen, dass man damit dann eine glm. Stetigkeit einer geeigneten "Stammfunktionsreihe" auf $I$ erreicht...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
was mir noch gerade auffällt:
Es ist in der Aufgabenstellung ja gesagt
"jedes [mm] f_n [/mm] besitzt eine Stammfunktion".
Und bzgl. des Hauptsatz der Diff- und Integralrechung steht bei uns:
Sei I:=[a,b] mit a < b und sei [mm] f\in [/mm] C(I). Dann gilt:
1) f besitzt eine Stammfunktion
2) ist F eine Stammfunktion von f, so gilt ...
Kann man jetzt nicht umgekehrt daraus sagen, dass wenn [mm] f_n
[/mm]
eine Stammfunktion besitzt, [mm] f_n [/mm] deswegen auch in C sein muss?
Damit hätte man es doch?
Oder ist diese Umkehrung nicht zulässig?
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
> Hallo Marcel,
>
> was mir noch gerade auffällt:
> Es ist in der Aufgabenstellung ja gesagt
> "jedes [mm]f_n[/mm] besitzt eine Stammfunktion".
>
> Und bzgl. des Hauptsatz der Diff- und Integralrechung steht
> bei uns:
> Sei I:=[a,b] mit a < b und sei [mm]f\in[/mm] C(I). Dann gilt:
> 1) f besitzt eine Stammfunktion
> 2) ist F eine Stammfunktion von f, so gilt ...
>
> Kann man jetzt nicht umgekehrt daraus sagen, dass wenn [mm]f_n[/mm]
> eine Stammfunktion besitzt, [mm]f_n[/mm] deswegen auch in C sein
> muss?
> Damit hätte man es doch?
> Oder ist diese Umkehrung nicht zulässig?
>
> Gruß,
> Anna
nein, diese Umkehrung ist nicht zulässig. Schau' mal in Bemerkung 17.19 (ich weiß nicht mehr, ob 1. oder 2.). Dort steht eine Funktion, die eine Stammfunktion hat, die aber noch nicht mal in $R[a,b]$ ist, also insbesondere erst recht nicht in $C[a,b]$ sein kann (wäre sie in $C[a,b]$, so wäre sie ja wegen $C[a,b] [mm] \subset [/mm] R[a,b]$ insbesondere in $R[a,b]$).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Di 01.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Marcel,
> nein, diese Umkehrung ist nicht zulässig. Schau' mal in
> Bemerkung 17.19 (ich weiß nicht mehr, ob 1. oder 2.). Dort
> steht eine Funktion, die eine Stammfunktion hat, die aber
> noch nicht mal in [mm]R[a,b][/mm] ist, also insbesondere erst recht
> nicht in [mm]C[a,b][/mm] sein kann (wäre sie in [mm]C[a,b][/mm], so wäre sie
> ja wegen [mm]C[a,b] \subset R[a,b][/mm] insbesondere in [mm]R[a,b][/mm]).
Es ist Bemerkung 17.19 2. Sehr interessant. Habe ich wieder was dazu gelernt Danke!!
Gruß,
Anna
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