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Funktionenreihe: Überprüfen auf Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Di 07.02.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
Man zeige, das die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^2} [/mm] gleichmäßig konvergiert!

Konvergiert die Reihe der Ableitungen der Summanden dieser Reihe auf ganz R zumindest punktweise?

kann mir hier jemand weiter helfen?
der erste punkt ist leicht. durch nach oben abschätzen erhält man eine absolut konvergente Reihe --> gleichmäßig konvergent.

bei der reihe der ableitung tu ich mir jetzt schwer. wie geht man da genau vor?
also ich hab mal abgeleitet, da kommt raus:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(nx)}{n} [/mm]
muss ich mir da jetzt die reihe der suprema ansehen oder etwas in der art?
der cosinus kann ja alles zwischen -1 und 1 annehmen. d.h. im maximalen fall hat man hier die harmonische reihe 1/n und die divergiert. aber eine nach oben abgeschätzte divergente reihe bringt mir ja nix. oder?

danke im voraus
grüße
felix

        
Bezug
Funktionenreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Di 07.02.2012
Autor: donquijote


> Man zeige, das die Funktionenreihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{n^2}[/mm]
> gleichmäßig konvergiert!
>  
> Konvergiert die Reihe der Ableitungen der Summanden dieser
> Reihe auf ganz R zumindest punktweise?
>  kann mir hier jemand weiter helfen?
>  der erste punkt ist leicht. durch nach oben abschätzen
> erhält man eine absolut konvergente Reihe -->
> gleichmäßig konvergent.
>  

richtig

> bei der reihe der ableitung tu ich mir jetzt schwer. wie
> geht man da genau vor?
>  also ich hab mal abgeleitet, da kommt raus:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{cos(nx)}{n}[/mm]
>  muss ich mir da
> jetzt die reihe der suprema ansehen oder etwas in der art?
>  der cosinus kann ja alles zwischen -1 und 1 annehmen. d.h.
> im maximalen fall hat man hier die harmonische reihe 1/n
> und die divergiert.

dann setzt du x=0 ein und schon ist die Frage, ob die Reihe für jedes feste x konvergiert, beantwortet

> aber eine nach oben abgeschätzte
> divergente reihe bringt mir ja nix. oder?
>  
> danke im voraus
>  grüße
>  felix


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