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Hi!
Ich habe verschiedene Funktionenfolgen bekommen und soll diese auf punktweise und gleichmäßige Kovergenz untersuchen. Außerdem soll ich die Grenzfunktion bestimmen.
fn:[-1,1]--->IR
[mm] fn(x)=(x+1/n)^2 [/mm]
Sodele, mir ist klar das die Funktionenfolge gegen [mm] x^2 [/mm] konvergiert. Was heißt das aber nun, ist die Funktion jetzt punktweise kovergent oder was?
Die Grenzfunktion müsste dann wohl auch [mm] f(x)=x^2 [/mm] sein.
Ich danke euch schonmal für eure Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Was heißt das aber nun, ist die Funktion jetzt punktweise kovergent oder was?
Ja. Wähle ein festes [mm] $x\in [/mm] [-1,1]$. Dann ist [mm] $\lim_{n\to\infty} f_n(x) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \left(x+\frac{1}{n}\right)^2=x^2$. [/mm] Somit konvergiert [mm] $(f_n)_{n\in \IN}$ [/mm] punktweise gegen [mm] $f:[-1,1]\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$. [/mm]
Daraus folgt aber noch keinesfalls die gleichmäßige Konvergenz (die Umkehrung gilt). Um sie nachzuweisen, wähle ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] beliebig. Du musst nun ein [mm] $n_{\epsilon}\in \IN$ [/mm] finden, sodass [mm] $\|f-f_n\|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_{\epsilon}$ [/mm] gilt. Dabei ist [mm] $\|f-f_n\| [/mm] = [mm] \max\{|f(x)-f_n(x)|\ | x\in [-1,1]\}$. [/mm] Schreibe [mm] $|f(x)-f_n(x)|$ [/mm] einmal aus und versuche ein [mm] $n_{\epsilon}$ [/mm] zu finden.
Bedenke: wäre der Definitionsbereich der [mm] $f_n$ [/mm] nicht das kompakte Intervall $[-1,1]$, sondern [mm] $\IR$, [/mm] so wäre [mm] $(f_n)_{n\in \IN}$ [/mm] nicht gleichmäßig konvergent gegen $f$.
Liebe Grüße,
Hanno
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Also ich hab das mal versucht:
Glm. Konvergenz:
Sei nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gilt [mm] |f_n(x)-f(x)|< \varepsilon
[/mm]
Nun bleibe ich aber hängen, denn es steht dann
[mm] |-(2x)/n_0-(1/n_0^2)|< \varepsilon
[/mm]
Wie kann ich da jetzt das [mm] n_0 [/mm] bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 24.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Micchecker!
> > [mm]|-(2x)/n_0-(1/n_0^2)|< \varepsilon[/mm]
>
> Wie kann ich da jetzt das [mm]n_0[/mm] bestimmen?
Es gilt ja:
[mm] $\left| - \frac{2x}{n_0} - \frac{1}{n_0^2} \right| [/mm] = [mm] \frac{1}{n_0^2} |2xn_0 [/mm] + 1| [mm] \le \frac{1}{n_0^2} \cdot (2n_0+1)$
[/mm]
wegen $|x| [mm] \le [/mm] 1$.
Findest du jetzt das [mm] $n_0$?
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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