Funktionenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 24.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hallo,
ich habe 2 Fragen:
1. wie untersuche ich eine Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz? Z.Bsp. [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+x^2)^n}
[/mm]
Gibt es eine bestimmte vorgehensweise?
2. Was ist der Unterschied zwischen punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz?
Danke im Voraus
Ich habe diese Fraee in keine anderen Foren gestellt.
|
|
| |
|
Beide Fragen greifen ineinander.
Bei der punktweisen Konvergenz von [mm] f_n [/mm] gegen f musst du beweisen, dass für eine "feste" Stelle x für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N\in \IN [/mm] existiert, so dass für alle n>N der Wert [mm] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm] wird. Jetzt kommts: Dabei kann N (das ja von [mm] \epsilon [/mm] abhängt) auch vom jeweiligen x abhängen.
Bei der gleichmäßigen Konvergenz ist alles genau so wie oben, aber das N darf nicht mehr davon abhängen, wie der x-Wert heißt, muss also für alle x-Werte im betrachteten Intervall gleich sein.
Für dein Beispiel heißt das:
f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not=0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
(Zeichne den Graphen mit einem Funktionenplotter und schau dir die Kurvenschar an. Hier habe ich das für n=0 bis n=10 gemacht. Für den restlichen Text gehe davon aus, dass ich f oben richtig angegeben habe, was du noch beweisen solltest.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du kannst jetzt für [mm] \epsilon [/mm] und x ein N angeben, so dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm] wird, aber nicht unabhängig von x:
Wähle z.B. [mm] \epsilon=0,001.
[/mm]
Für x=0 ist [mm] f_n(0)=1=f(0) [/mm] und damit [mm] |f_n(0)-f(0)|=0<\epsilon.
[/mm]
für x>1 ist ab n>N=10 [mm] |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)|<0,5^{10}<\epsilon. [/mm]
Aber: für [mm] x=\wurzel{\wurzel[n]{2}-1} [/mm] ist immer [mm] |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=1/2>\epsilon. [/mm]
In obigem Bild bedeutet dies:
Auch wenn n immer größer wird (das sind die unteren Graphen), schneiden sie irgendwo alle die waagerechte blaue Linie in der Höhe 1/2 und sind damit 1/2 über f gelegen, also mehr als [mm] \epsilon [/mm] von 0 entfernt.(nicht glm. konvergent)
Bist du aber an irgendeiner Stelle x (senkrechte blaue Linie) und hat einer der Graphen dort auch gerade die Höhe 1/2, so erhöhst du einfach das n, bekommst dadurch einen tiefer gelegenen Graphen und kannst n so groß machen, dass der entsprechende Graph die blaue Senkrechte beliebig nah über der x-Achse schneidet, jedes [mm] \epsilon [/mm] also unterschritten wird (punktweise Konvergenz).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 25.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hallo,
danke für die sehr schöne und ausführliche Antwort. Das habe ich gut verstanden.
Was ich allerdings nicht darauf komme, ist die Auswertung für verschidene x-Werte und x-Bereiche. Woher soll ich wissen, wenn ich für x>1 oder [mm] x=\wurzel{\wurzel[n]{2}-1} [/mm] die Funktionenfolge auswerte, werde ich dann das beste Ergebniss bekommen?
Grüße
|
|
|
| |
|
Du zeigst zuerst, dass [mm] f_n(0)=1 [/mm] ist für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Also ist f(0)=1.
Dann zeigtst du, dass für alle anderen Werte von x [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=0 [/mm] wird. Mache am besten eine Abschätzung mit der Bernoulli-Ungleichung.
Damit hast du die punktweise Konvergenz der Folge gegen die von mir angegebene Funktion f bewiesen.
Um nun zu zeigen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, schreibst du einfach:
Ich wähle [mm] \epsilon [/mm] = 0,1. Nun muss es ein [mm] N\in \IN [/mm] geben, so dass für alle n>N gilt: [mm] |f_n(x)-f(x)|<0,1 [/mm] für beliebige x.
Für jede Funktion [mm] f_n [/mm] betrachte ich [mm] x_n=\wurzel{\wurzel[n]{2}-1} [/mm] >0. Dann ist [mm] f(x_n)=0 [/mm] und damit
[mm] |f_n(x_n)-f(x_n)|=|f_n(x_n)|=\bruch{1}{(1+x_n^2)^n}=\bruch{1}{(1+\wurzel[n]{2}-1)^n}=\bruch{1}{(\wurzel[n]{2})^n}=\bruch{1}{2}>0,1=\epsilon.
[/mm]
Damit ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Sa 26.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Um mich zu testen, mache ich die Aufgabe für 2 Funktionenfolgen:
1) [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+nx^{2}} [/mm] auf [mm] D=\IR
[/mm]
Hier ist f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+nx^{2}} [/mm] = [mm] \begin{cases}1, & \mbox{für } x = 0 \\ 0, & \mbox{für } x \not= 0\end{cases}
[/mm]
Für x=0 ist [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |f_{n}(0)- [/mm] f(0)| = |1-1| = 0 < [mm] \varepsilon [/mm]
Für [mm] x\not= [/mm] 0 ist [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |f_{n}(x)-0| =|f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Jetzt wähle ich [mm] \varepsilon [/mm] = 0,1
Dann für x =1 ab [mm] n\ge11 [/mm] ist [mm] |f_{n}(x)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+n}< \bruch{1}{10} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Und für x>1 ist [mm] |f_{n}(x)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+nx^{2}}< \bruch{1}{1+n}< \bruch{1}{10} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] ab [mm] n\ge10 [/mm]
Aber für x = [mm] \wurzel{\bruch{2}{n}}:
[/mm]
[mm] |f_{n}(x)| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{1+n(\wurzel{\bruch{2}{n}})^{2}}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
Also dann punktweise konvergent.
2) [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] auf D = [1, b] mit b>1
Hier ist f(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x} [/mm] = [mm] \begin{cases}1, & \mbox{für } x = 1 \\ 1, & \mbox{für } x > 1\end{cases}
[/mm]
Also dann immer gleich 1.
Für x=1 ist [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |f_{n}(1)- [/mm] f(1)| = |1-1| = 0 < [mm] \varepsilon [/mm]
Für x = b > 1 ist [mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |f_{n}(x)-1| =|\wurzel[n]{b}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Jetzt wähle ich [mm] \varepsilon [/mm] = 0,1:
Für b = [mm] 2^{n} [/mm] haben wir [mm] |\wurzel[n]{b}-1| [/mm] = [mm] |\wurzel[n]{2^{n}}-1|= 1>\varepsilon
[/mm]
Allgemein gilt das für alle b = [mm] k^{n} [/mm] mit k >1. Ich habe mir die Funktionenschare angezeichnet. Da sieht das aber anders aus. Egal was x ist, d.h. für Werte nah zu 1 und x>>1 nähert sich [mm] f_{n}(x) [/mm] an f(x)=1 an.
Ich kann das nicht verstehen. Ich denke hier ist auch punktweise konvergenz, aber wie kann ich das argumentieren?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 So 27.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wir hatten auch noch die Supremumsnorm in der Vorlesung (Flenner?).
Eine Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f, wenn [mm] ||f_n-f|| [/mm] eine Nullfolge ist.
f hast du ja schon rausgefunden, f(x)=1 müsste gelten.
Wenn [mm] f_n [/mm] nun gleichmäßig konvergent gegen f(x)=1 wäre, müsste [mm] ||f_n-1|| [/mm] eine Nullfolge sein. Und es gilt: [mm] ||f_n-1||=\wurzel[n]{b}-1.
[/mm]
Denn wir haben ja das Intervall [1;b] gegeben, sodass an der Stelle b immer der größte Wert angenommen wird (die Wurzelfunktion ist ja streng monoton steigen).
Und [mm] a_n=\wurzel[n]{b}-1 [/mm] ist für alle b>1 eine Nullfolge.
Daher ist die Funktionsfolge gleichmäßig konvergent gegen 1 auf dem Intervall [1;b].
Der Fehler bei deinem Beweis ist, dass bei dir b von n abhängt [mm] (b=2^n). [/mm] Tut es aber nicht.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 So 27.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hallo,
das mit Nullfolge habe ich verstanden. Aber was mir nicht ganz klar ist, ist das Verhalten der Graphen. Ich habe mir mit einem Plotter von n=1 bis n=50 zeichnen lassen. Nehmen wir an in x=5. Da kann man kein Epsillon finden, so dass ab einem n der Abstand zwischen [mm] f_{n}(x) [/mm] und f(x) kleiner als Epsillon wird. Also das ist dann keine geichmßige Konvergenz.
Bei der Aufgabe [mm] f_{n}(x) =\bruch{[nx]}{n} [/mm] auf [mm] D=\IR [/mm] habe ich auch das Problem, dass ich zwischen punktweise und gleichmäßige Konvergenz nicht unterscheiden kann. Die Funktion ist in den ganzzahligen Stellen nicht stetig. Man muss also in einzel Intervallen betrachten. Aber die nx liegen nicht immer im selben Intervall.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 So 27.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das Problem mit der Wurzelfunktion würde aber nur bestehen, wenn [mm] D=\IR [/mm] wäre!
Aber hier hat man ja ein Intervall vorgegeben, in dem es dann eben auch einen größten Funktionswert gibt! Nämlich am rechten Intervallrand b.
Du musst ja nicht herausfinden, ob diese Wurzelfunktionenfolge auf ganz [mm] \IR [/mm] gleichmäßig konvergiert (denn das würde sie wirklich nicht!), sondern nur auf diesem Intervall.
Und zur d)
Zeichne dir auch mal die Funktionen für ein paar n. Dann siehst du, dass die Funktionenfolge gegen eine bestimmte Funktion konvergiert. Ob es dann punktweise ist oder sogar gleichmäßig, musst du dann noch prüfen.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 28.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
zur Aufgabe [mm] f_{n}(x)= [/mm] [nx] / n auf D = [mm] \IR [/mm] habe ich mir die Funktionen für n=1,...5 angezeichnet. Komme aber auf kein vernünftiges Ergebnis!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Ist dir etwas von der Optik der Graphen her aufgefallen?
Betrachte die Funktion z.B. nur im Bereich von 0 bis 1.
Dann sieht [mm] f_1 [/mm] aus wie eine "Stufe", [mm] f_2 [/mm] siehst schon so aus wie 2 Stufen, ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Welcher Funktion könnte sich die Funktionenfolge dann annähern?
Teufel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mo 28.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Ist mit [x] die voriege ganze Zahl gemeint oder die nächste? Z.B. Ist [1,4]= 1 oder ist [1,4]=2?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Immer die größte ganze Zahl, die kleiner als x ist.
[1,4]=1.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Di 29.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Wie ich im Bild siehe, geht die Funktionenfolge gegen f(x)=x. Richtig? Aber ich kann immer noch nicht unterscheiden, wann ist punktweise und wann gleichmäßig.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Di 29.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau, die Grenzfunktion ist f(x)=x.
Und für punktweise Konvergenz gilt:
Für jedes x einzeln gesehen, konvergiert [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] gegen 0, also für alle x existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \forall [/mm] n>N für [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben.
Das [mm] \varepsilon [/mm] kann dabei noch vom x abhängen und as ist der Unterschied zur gleichmäßigen Konvergenz.
Bei der gleichmäßigen Konvergenz muss es ein pauschales [mm] \varepsilon [/mm] für alle x geben, sodass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] gilt [mm] \forall [/mm] n>N, unabhängig von x.
Du kannst dir ja auch noch die Wikipediaartikel dazu durchlesen, vielleicht wird es dann noch klarer.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 Di 29.12.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Danke für die Erklärung!
Grüße
|
|
|
| |
|
Dein Hauptproblem - falls noch nicht gelöst - liegt offenbar darin, dass du zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz nicht unterscheiden kannst, wie du mehrfach äußerst.
Diese Unterscheidung ist aber falsch!
Eine Folge ist nicht entweder punktweise oder gleichmäßig konvergent!!!!
Eine Folge, die nicht punktweise konvergent ist, kann gar nicht gleichmäßig konvergent sein!
Zunächst einmal: Wenn du mit Hilfe von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] die Funktion f(x) bestimmt hast - nach welchem Verfahren auch immer, ob mit [mm] \epsilon [/mm] oder l'Hospital oder sonstwie -, ist diese punktweise konvergent. Denn du hast doch für jeden Punkt x den Grenzwert gefunden.
Wenn - JETZT NOCH!!! - nachgewiesen werden kann, dass für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] ein N existiert, das nicht von der Stelle x abhängt, also für alle x gleich ist, so dass für alle n>N der Wert [mm] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm] bleibt, dann ist die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] ZUSÄTZLICH gleichmäßig konvergent.
Eine punktweise konvergente Funktionenfolge erhält also durch die Eigenschaft gleichmäßig konvergent noch den Ritterschlag.
|
|
|
|
