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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | In welchen der folgenden Fälle gilt [mm] f_n \rightarrow [/mm] f, n [mm] \rightarrow \infty, [/mm] für die Supremumsnorm auf [mm] [0,\bruch{1}{2}]
[/mm]
(a) [mm] f_n(t)=t^n, [/mm] f(t) = 0
(b) [mm] f_n(t)=(1-t)^n, [/mm] f(t) = 0, [mm] 0
(c) [mm] f_n(t)=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{(k!)^2}t^k, [/mm] f(t) = cos t
(d) [mm] f_n(t)=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}t^k, [/mm] f(t)= -ln(1-t) |
Ich habe mir überlegt:
(a) Wenn bei [mm] f_n(t)=t^n [/mm] n gegen [mm] \infty [/mm] geht, geht [mm] f_n(t) [/mm] im Intervall [0, [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] gegen 0, da das Supremum von [mm] f_n(t) [/mm] stets [mm] f_n(\bruch{1}{2} [/mm] ) ist und dieser Wert für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen 0 geht.
(b) Hier würde ich auch sagen, dass die Konvergenz zutrifft.
[mm] f_n(0)=1=f(0) \forall [/mm] n [mm] \in\IN [/mm] das wäre der erste teil und falls [mm] t\in (0,\bruch{1}{2}) [/mm] gilt hier (ähnlich wie bei (a)), dass [mm] ||f_n(t)||_\infty [/mm] = [mm] f_n(0+\varepsilon) [/mm] wobei [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein (fast 0) ist.
Und damit geht das Supremum von [mm] f_n(t) [/mm] gegen 0 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
(c) Hier habe ich jetzt einfach Probleme das Supremum zu finden.
[mm] t^k [/mm] wird auf jedenfall beliebig klein für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ... daher würde ich sagen, dass die ganze Summe gegen 0 geht und damit f nicht gegen cos t stebt.
(d) Hier würde ich wie in (c) argumentieren .... vermute jedoch, dass die Argumentation nicht passt (rein vom standpunkt des Aufgabenstellers aus)
Passen meine Überlegungen bei (a) und (b) und wie würde es korrekt gehn bei den anderen?
Über Hinweise wäre ich sehr dankbar.
Gruß zerwas
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> In welchen der folgenden Fälle gilt [mm]f_n \rightarrow[/mm] f, n
> [mm]\rightarrow \infty,[/mm] für die Supremumsnorm auf
> [mm][0,\bruch{1}{2}][/mm]
> (a) [mm]f_n(t)=t^n,[/mm] f(t) = 0
> (b) [mm]f_n(t)=(1-t)^n,[/mm] f(t) = 0, [mm]0
> (c) [mm]f_n(t)=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{(k!)^2}t^k,[/mm] f(t) =
> cos t
> (d) [mm]f_n(t)=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}t^k,[/mm] f(t)=
> -ln(1-t)
> Ich habe mir überlegt:
>
> (a) Wenn bei [mm]f_n(t)=t^n[/mm] n gegen [mm]\infty[/mm] geht, geht [mm]f_n(t)[/mm] im
> Intervall [0, [mm]\bruch{1}{2}][/mm] gegen 0, da das Supremum von
> [mm]f_n(t)[/mm] stets [mm]f_n(\bruch{1}{2}[/mm] ) ist und dieser Wert für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] gegen 0 geht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (b) Hier würde ich auch sagen, dass die Konvergenz
> zutrifft.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]f_n(0)=1=f(0) \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm] das wäre der erste teil und
> falls [mm]t\in (0,\bruch{1}{2})[/mm] gilt hier (ähnlich wie bei
> (a)), dass [mm]||f_n(t)||_\infty[/mm] = [mm]f_n(0+\varepsilon)[/mm] wobei
> [mm]\varepsilon[/mm] beliebig klein (fast 0) ist.
> Und damit geht das Supremum von [mm]f_n(t)[/mm] gegen 0 für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
Dies ist richtig: aber nur für [mm] $t\neq [/mm] 0$. Das Problem ist nun, dass [mm] $f_n(t)$ [/mm] stetig ist und deshalb für [mm] $t\rightarrow [/mm] 0+$ gegen [mm] $f_n(0)=1$ [/mm] gehen muss. Also geht die Supremumsnorm der Differenz [mm] $|f_n(t)-f(t)|$ [/mm] zur Grenzfunktion gegen $1$ (nicht $0$, was für Konvergenz bezüglich dieser Norm natürlich nötig wäre).
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