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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Sa 24.11.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Sind [mm] X_n [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , zufallsvariablen auf einem messbaren Raum (X, [mm] \mathcal{A}), [/mm] so auch ihr Infimum, supremum, Limes Inferior, Limes Superior und Limes, sofern sie reellwertig sind. |
Man soll die Funktionen umschreiben. So habe ich gefunden:
[mm] (inff_k)^{-1} (a,\infty)= \bigcup_{k\in\IN} (f_k)^{-1} (a,\infty)
[/mm]
Das Supremum dasselbe mit dem Schnitt.
[mm] liminf_{k\in\IN}f_k=sup_{m\in\IN} inf_{k\ge m} f_k
[/mm]
Bei limsup hatte ich mir überlegt, dass man supremum und infimum aus liminf einfach umdrehen muss.
Beim Limes hatte ich mir überlegt, dass der Limes ja aus der Funktionenfolge stammen muss, also per Definition eine zufallsvariable ist.
Ich bin mir leider nicht ganz sicher. Vor allem mit der Vereinigung und dem Durchschnitt, ist das vielleicht andersrum?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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> Sind [mm]X_n[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] , zufallsvariablen auf einem messbaren
> Raum (X, [mm]\mathcal{A}),[/mm] so auch ihr Infimum, supremum, Limes
> Inferior, Limes Superior und Limes, sofern sie reellwertig
> sind.
> Man soll die Funktionen umschreiben. So habe ich
> gefunden:
>
> [mm](inff_k)^{-1} (a,\infty)= \bigcup_{k\in\IN} (f_k)^{-1} (a,\infty)[/mm]
Ungefähr so - wie wärs statt dessen mit:
[mm]\{\inf_{k\in \IN} f_k < a\}=\bigcup_{k\in\IN} \{f_k< a\}[/mm]
Und diese Äquivalenz gilt, weil [mm] $\inf_{k\in \IN} f_k [/mm] < a$ genau dann gilt, wenn mindestens eines der [mm] $f_k$ [/mm] an der betreffenden Stelle $<a$ ist.
> Das Supremum dasselbe mit dem Schnitt.
Ja, also, ausgeschrieben:
[mm]\{\sup_{k\in \IN} f_k < a\}=\bigcap_{k\in\IN} \{f_k< a\}[/mm]
weil [mm] $\sup_{k\in \IN} f_k [/mm] < a$ genau dann gilt, wenn [mm] $f_k [/mm] < a$ für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt.
>
> [mm]liminf_{k\in\IN}f_k=sup_{m\in\IN} inf_{k\ge m} f_k[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Also
[mm]\{\liminf_{k\in \IN}f_k < a\}=\{\sup_{m\in \IN}\inf_{k\geq m} f_k < a\}=\bigcap_{m\in \IN}\{\inf_{k\geq m} f_k < a\}=\bigcap_{m\in \IN}\bigcup_{k\geq m}\{f_k < a\}[/mm]
>
> Bei limsup hatte ich mir überlegt, dass man supremum und
> infimum aus liminf einfach umdrehen muss.
Also
[mm]\{\limsup_{k\in \IN}f_k < a\}=\{\inf_{m\in \IN}\sup_{k\geq m} f_k < a\}=\bigcup_{m\in \IN}\{\sup_{k\geq m} f_k < a\}=\bigcup_{m\in \IN}\bigcap_{k\geq m}\{f_k < a\}[/mm]
>
> Beim Limes hatte ich mir überlegt, dass der Limes ja aus
> der Funktionenfolge stammen muss, also per Definition eine
> zufallsvariable ist.
Revision 1: Für welche Funktion soll denn [mm] $\lim_{k\rightarrow \infty} f_k$ [/mm] stehen? [mm] $\liminf_{k\in \IN} f_k$ [/mm] und [mm] $\limsup_{k\in \IN} f_k$ [/mm] existieren für Funktionen mit Werten in [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] ja immer - aber [mm] $\lim f_k$?
[/mm]
Dort, wo [mm] $\lim f_k$ [/mm] existiert, stimmt der Wert ja sowohl mit [mm] $\limsup f_k$ [/mm] als auch mit [mm] $\liminf f_k$ [/mm] überein. Dass diese beiden Funktionen messbar sind, wissen wir schon. - Oder werden wir gefragt, ob die Menge, auf der [mm] $\lim f_k$ [/mm] existiert, auf der also [mm] $\liminf f_k$ [/mm] und [mm] $\limsup f_k$ [/mm] übereinstimmen, eine messbare Menge ist?
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