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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] sei die Funktion [mm] f_{n}: \IR \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \mbox{[n, n+1]} \\ 0, & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Außerdem sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch f(x) := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)
[/mm]
Zeigen Sie:
f ist Lebesgue-integrabel und es gilt [mm] \integral_{\IR}^{}{f(x) dx} \not= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\IR}^{}{f_{n}(x) dx}
[/mm]
Warum ist der Konvergenzsatz von Lebesgue trotzdem nicht verletzt? |
Hallo Leute,
habe ziemliche Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, da das Thema noch ganz neu ist.
Ich denke, dass [mm] f_{n} [/mm] gegen null konvergiert, da es nach dem Satz von Archimedes zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl gibt, welche größer als a ist. Dementsprechend kann der Funktionswert 1 bei der Grenzwertbildung nicht mehr angenommen werden.
Allerdings ist das meiner Meinung nach keine formal korrekte Begründung und deshalb möchte ich als erstes Fragen, ob man dies besser begründen/beweisen kann.
Da f dann identisch der konstanten Nullfunktion ist, ist f auch Lebesgue-integrabel mit dem Integralwert null.
Die [mm] f_{n} [/mm] sind Treppenfunktionen und man kann das Integral direkt über die Definition für Treppenfunktionen ausrechnen (Das müsste 1 sein für alle n [mm] \in \IN) [/mm]
Warum allerdings der Konvergenzsatz von Lebesgue nicht verletzt ist, sehe ich nicht. Die [mm] f_{n} [/mm] sind alle integrabel und werden von einer integrablen Funktion g dominiert (z.B. die konstante Funktion g(x) = 1 für alle x)
Für Verbesserungen, Berichtigungen und sonstige Hilfen wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
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> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei die Funktion [mm]f_{n}: \IR \to \IR[/mm] gegeben
> durch
> [mm]f_{n}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \mbox{[n, n+1]} \\ 0, & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Außerdem sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch f(x) :=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> f ist Lebesgue-integrabel und es gilt
> [mm]\integral_{\IR}^{}{f(x) dx} \not= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\IR}^{}{f_{n}(x) dx}[/mm]
>
> Warum ist der Konvergenzsatz von Lebesgue trotzdem nicht
> verletzt?
> Hallo Leute,
>
> habe ziemliche Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, da das
> Thema noch ganz neu ist.
> Ich denke, dass [mm]f_{n}[/mm] gegen null konvergiert, da es nach
> dem Satz von Archimedes zu jeder reellen Zahl a eine
> natürliche Zahl gibt, welche größer als a ist.
> Dementsprechend kann der Funktionswert 1 bei der
> Grenzwertbildung nicht mehr angenommen werden.
> Allerdings ist das meiner Meinung nach keine formal
> korrekte Begründung und deshalb möchte ich als erstes
> Fragen, ob man dies besser begründen/beweisen kann.
Wo ist da das Problem?
Zu jedem a gibt es ein [mm] N_0 [/mm] mit [mm] f_n(x)=0 [/mm] für alle [mm] n\ge N_0
[/mm]
>
> Da f dann identisch der konstanten Nullfunktion ist, ist f
> auch Lebesgue-integrabel mit dem Integralwert null.
>
> Die [mm]f_{n}[/mm] sind Treppenfunktionen und man kann das Integral
> direkt über die Definition für Treppenfunktionen
> ausrechnen (Das müsste 1 sein für alle n [mm]\in \IN)[/mm]
korrekt
>
> Warum allerdings der Konvergenzsatz von Lebesgue nicht
> verletzt ist, sehe ich nicht. Die [mm]f_{n}[/mm] sind alle
> integrabel und werden von einer integrablen Funktion g
> dominiert (z.B. die konstante Funktion g(x) = 1 für alle
> x)
Seit wann ist die Konstante 1 auf [mm] \IR [/mm] lesbegue-integrabel?
>
> Für Verbesserungen, Berichtigungen und sonstige Hilfen
> wäre ich sehr dankbar!
>
> Liebe Grüße
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Danke für die schnelle Antwort!
Naja, ich dachte mir, da die Konstante 1 Riemann-integrabel ist, muss sie wohl erst recht Lebesgue-integrabel sein.
Kann mir jetzt nur erklären, dass sie es nicht ist, da das Maß unendlich wird und sich das mit der Definition des Integrals beißt.
Aber wie kann man dann zeigen, dass es keine Lebesgue-integrable Funktion g gibt, mit [mm] |f_{n} [/mm] (x)| [mm] \le [/mm] |g(x)| für alle n und für fast alle x?
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> Danke für die schnelle Antwort!
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> Naja, ich dachte mir, da die Konstante 1 Riemann-integrabel
> ist, muss sie wohl erst recht Lebesgue-integrabel sein.
> Kann mir jetzt nur erklären, dass sie es nicht ist, da das
> Maß unendlich wird und sich das mit der Definition des
> Integrals beißt.
Zur Lebesgue-Integrierbarkeit gehört auch [mm] \int g<\infty, [/mm] das ist eine zentrale Voraussetzung beim Satz von Lebesgue.
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> Aber wie kann man dann zeigen, dass es keine
> Lebesgue-integrable Funktion g gibt, mit [mm]|f_{n}[/mm] (x)| [mm]\le[/mm]
> |g(x)| für alle n und für fast alle x?
Für eine Funktion g mit [mm] f_n\le [/mm] g für alle n muss auf dem Intervall [n,n+1] gelten [mm] g(x)\ge f_n(x)=1 [/mm] und
damit [mm] g(x)\ge [/mm] 1 auf ganz [mm] \IR_+.
[/mm]
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