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| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] f_{n}=\bruch{nx}{nx+1} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen 1. |
Hallo,
also prinzipiell ist mir das klar. Zunächst betrachtet man ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{nx}{nx+1}=1. [/mm] Das ist ja aber nur der punktweise Grenzwert. Jetzt wäre noch die glm Konvergenz zu zeigen. Also
[mm] |\bruch{nx}{nx+1}-1|
[/mm]
[mm] =|\bruch{nx}{nx+1}-\bruch{nx+1}{nx+1}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{-1}{nx+1}|
[/mm]
Und wie jetzt weiter? Irgendwie müsste ich ja noch das x rauskriegen, damit kleiner als Epsilon wird. Vom Prinzip könnte man ja das machen:
[mm] |\bruch{-1}{nx+1}|
[/mm]
[mm] \le |\bruch{-1}{n+1}| [/mm]
Für x=0 geht das aber in die Hose und es muss ja für alle x gelten. Kann mir bitte jemand helfen? Das wär super!
Schöne Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
an der Aufgabe stimmt doch eas nicht. Es muss doch ein Intervall angegeben sein, da die Funktion nicht auf ganz IR definiert ist und der Grenzert gar nicht 1 ist, da [mm] f_{n}(0)=0 [/mm] für alle n. Bist du sicher, dass die Aufgabe so hieß?
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Hallo Hund,
danke erst mal. DU hast Recht, die Aufgabe war eine ganz andere. Ich sollte folg. Aussage widerlegen:
Die $ [mm] f_{n} [/mm] $ und f seien von $ [mm] \IR [/mm] $ nach $ [mm] \IR, [/mm] $ wir setzen voraus, dass die $ [mm] f_{n} [/mm] $ gleichmäßig gegen f konvergieren. Welche der folgenden Aussagen sind richtig (Beweis!), welche falsch (Gegenbeispiel!)?
Gilt $ [mm] lim(k\to\infty)f_{n}(1/k) [/mm] $ = 0 für alle n, so ist auch $ [mm] lim(k\to\infty) [/mm] $ f(1/k) = 0.
Da habe ich nun als Tipp bekommen, mir diese Funktionenfolge anzuschauen. Ich muss doch aber wenigstens zeigen, dass die Funktion tatsächlich glm konvergiert, um das ausreichend zu begründen. Daher kam die Frage. Kann mir jetzt jemand weiterhelfen?
Schöne Grüße
Daniel
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Hiho,
der mit dem Tip war ich^^
Natürlich ist die Funktion nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] glm. stetig. Wenn du die Funktion aber auf [mm] [1,\infty) [/mm] betrachtest, ist sie es schon.
Auf diesem Bereich kannst du dann deine Aussage widerlegen.
Gruß,
Gono.
PS: Das hättest du aber auch im anderen Thread fragen können [mm] o_O
[/mm]
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Hallo Gonzo & Hund,
ja stimmt, hätt ich auch machen können. Jetzt weiß ich aber immer noch nicht, wie ich zeige, dass fn auf [mm] [1,\infty) [/mm] glm konvergent ist. Wie muss ich also die Abschätzung weitermachen? Ich müsste nur wissen, wie ich das x da raus kriege (s. 1. Frage!). Danke!
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Fr 18.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm das x, bei dem du [mm] N_0 [/mm] am grössten wählen musst um 1 zu kriegen, alle anderen tuns dann beim selben [mm] N_0.
[/mm]
untersuch noch genauer, obs nicht noch näher an 0 geht, und was ist bei x<0?
Gruss leduart
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