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Funktionenfolge, Einheitskugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mi 25.03.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Im Banachraum C[0,1] aller stetigen Funktionen f:[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] versehen mit der Supremumsnorm ||.||, sei [mm] K(1):=\{f \in C[0,1]: ||f||\le 1\} [/mm] die abgeschlossene Einheitskugel.
a) Man konstruiere eine Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] von Funktionen [mm] f_n \in [/mm] K(1) mit [mm] ||f_n|| [/mm] =1 für alle n und [mm] f_n f_m [/mm] =0 für alle n [mm] \not= [/mm] m .
b) Man zeige: Die Folge [mm] (f_n)_{n\in \IN} [/mm] besitze keine konvergente Teilfolge.


Hallo,

Ich hatte bei a) die Idee [mm] f_n(x)=x^n \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] so ist zwar [mm] ||f_n(x)||=1 [/mm] aber [mm] f_n f_m \not= [/mm] 0. Habt ihr eine Idee ? Ich habe Probleme um [mm] f_n f_m [/mm] =0 zu erreichen.

b)
ZZ.: Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] besitz keine konvergente Teilfolge [mm] (f_{n_k})_{k\in\IN} [/mm]
Mit Hilfe von Internet/Bücher bin ich zu dieser Lösung gekommen:
Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge [mm] (f_{n_k})_{k\in\IN}. [/mm] Jede konvergente Folge in einen metrischen Raum ist eine Cauchyfolge.

Jedoch: Seien [mm] f_m, f_n \in (f_n)_{n\in\IN} [/mm] zwei beliebige aber feste Elemente. [mm] ||f_m [/mm] - [mm] f_n|| [/mm] = [mm] sup_{x\in[0,1]} |f_m(x)-f_n(x)| \ge |f_m(x)-f_n(x)| [/mm] für ein beliebiges x [mm] \in [/mm] [0,1]
Da [mm] f_m [/mm] in C[0,1] liegt ist es stetig, d.h. auf der kompakten Menge [0,1] nimmt [mm] f_m [/mm] sein Maximum 1 an: [mm] \exists x_0 \in [/mm] [0,1] sodass [mm] f_m(x_0)=1 [/mm]
D.h. [mm] ||f_m [/mm] - [mm] f_n [/mm] || [mm] \ge |f_m(x_0)-f_n(x_0)| [/mm] = |1-0|=1
Da [mm] f_m [/mm] * [mm] f_n [/mm] =0 muss [mm] f_m (x_0) *f_n(x_0)= [/mm] 0 [mm] \rightarrow f_n(x_0)=0 [/mm]
Da dies für beliebige m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt, kann  [mm] (f_{n_k})_{k\in\IN} [/mm] keine Cauchyfolge bezüglich der Supremumsnorm sein.


LG,
sissi

        
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mi 25.03.2015
Autor: fred97


> Im Banachraum C[0,1] aller stetigen Funktionen f:[0,1]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] versehen mit der Supremumsnorm ||.||, sei
> [mm]K(1):=\{f \in C[0,1]: ||f||\le 1\}[/mm] die abgeschlossene
> Einheitskugel.
>  a) Man konstruiere eine Folge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] von
> Funktionen [mm]f_n \in[/mm] K(1) mit [mm]||f_n||[/mm] =1 für alle n und [mm]f_n f_m[/mm]
> =0 für alle n [mm]\not=[/mm] m .
>  b) Man zeige: Die Folge [mm](f_n)_{n\in \IN}[/mm] besitze keine
> konvergente Teilfolge.
>  Hallo,
>  
> Ich hatte bei a) die Idee [mm]f_n(x)=x^n \forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] so
> ist zwar [mm]||f_n(x)||=1[/mm] aber [mm]f_n f_m \not=[/mm] 0. Habt ihr eine
> Idee ? Ich habe Probleme um [mm]f_n f_m[/mm] =0 zu erreichen.

Ja, eine solche Konstruktion ist nicht naheliegend. Was hast Du denn bisher an Bastelarbeiten gemacht ?

>  
> b)
>  ZZ.: Folge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] besitz keine konvergente
> Teilfolge [mm](f_{n_k})_{k\in\IN}[/mm]
>  Mit Hilfe von Internet/Bücher bin ich zu dieser Lösung
> gekommen:
>  Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge
> [mm](f_{n_k})_{k\in\IN}.[/mm] Jede konvergente Folge in einen
> metrischen Raum ist eine Cauchyfolge.
>  
> Jedoch: Seien [mm]f_m, f_n \in (f_n)_{n\in\IN}[/mm] zwei beliebige
> aber feste Elemente. [mm]||f_m[/mm] - [mm]f_n||[/mm] = [mm]sup_{x\in[0,1]} |f_m(x)-f_n(x)| \ge |f_m(x)-f_n(x)|[/mm]
> für ein beliebiges x [mm]\in[/mm] [0,1]

O.K.


>  Da [mm]f_m[/mm] in C[0,1] liegt ist es stetig, d.h. auf der
> kompakten Menge [0,1] nimmt [mm]f_m[/mm] sein Maximum 1 an:

Nein, sondern [mm] |f_m| [/mm] nimmt sein Maximum 1 an.


> [mm]\exists x_0 \in[/mm]
> [0,1] sodass [mm]f_m(x_0)=1[/mm]


S.o.:    [mm]|f_m(x_0)|=1[/mm]


>  D.h. [mm]||f_m[/mm] - [mm]f_n[/mm] || [mm]\ge |f_m(x_0)-f_n(x_0)|[/mm] = |1-0|=1
>  Da [mm]f_m[/mm] * [mm]f_n[/mm] =0 muss [mm]f_m (x_0) *f_n(x_0)=[/mm] 0 [mm]\rightarrow f_n(x_0)=0[/mm]
>  
> Da dies für beliebige m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt, kann  
> [mm](f_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] keine Cauchyfolge bezüglich der
> Supremumsnorm sein.


Ich denke, dass Du das Richtige meinst. Korrekt, sauber und unmissverständlich hast Du das aber nicht aufgeschrieben!

Ich greife Deine Idee auf:

Angenommen, [mm] (f_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge [mm] (f_{n_k}). [/mm]

Ich bin faul und setze [mm] g_k:=f_{n_k}. [/mm]

Ist k [mm] \in \IN, [/mm] so ex. ein [mm] x_k \in [/mm] [0,1] mit [mm] |g_k(x_k)|=1. [/mm]

Nun seien k,j [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \ne [/mm] j.

Dann ist [mm] 0=|(g_k*g_j)(x_k)|=|g_k(x_k)|*|g_j(x_k)|=|g_j(x_k)|, [/mm] also [mm] g_j(x_k)=0. [/mm]

Es folgt:

(*)  [mm] ||g_k-g_j|| \ge |g_k(x_k)-g_j(x_k)|=1. [/mm]

Da [mm] (g_k) [/mm] bezügl. der Max.-Norm konvergiert, ist [mm] (g_k) [/mm] bezügl. dieser Norm eine Cauchyfolge. Somit ex. ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] mit


  $ [mm] ||g_k-g_j|| [/mm] < 1$ für alle k,j [mm] \ge k_0. [/mm]

Das ist aber ein Widerspruch zu (*)

>  
>
> LG,
>  sissi


Bezug
                
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Do 26.03.2015
Autor: sissile

Danke für deine Verbesserungen zu Bsp b).

Zu Bsp a).
Ich habe das Intervall [0,1] zerlegt in 1/n, n [mm] \in \IN [/mm] Schritte.
[mm] f_0 [/mm] soll z.B die Funktion sein die zwischen 1/2 und 1  wie eine Zacke in der Mitte des Intervalls [1/2,1] zu 1 nach oben und wieder nach unten geht.Die Folge besteht also aus immer dünneren Zacken, die sich nach links verschieben.
Wenn ich mich nicht geirrt habe:
[mm] f_0(x)=\begin{cases} 4x-2, & \mbox{für }1/2 \le x \le 3/4 \\ -4x+4, & \mbox{für} 3/4 < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
Dann ist [mm] f_1 [/mm] zwischen [1/3, 1/2] ein Zacken nach oben:
[mm] f_1(x)=\begin{cases} 6x-??, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -6x+??, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
Bei den Fragezeichen hab es nicht geschafft d herauszubekommen.


Bezug
                        
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Fr 27.03.2015
Autor: fred97


> Danke für deine Verbesserungen zu Bsp b).
>  
> Zu Bsp a).
>  Ich habe das Intervall [0,1] zerlegt in 1/n, n [mm]\in \IN[/mm]
> Schritte.
> [mm]f_0[/mm] soll z.B die Funktion sein die zwischen 1/2 und 1  wie
> eine Zacke in der Mitte des Intervalls [1/2,1] zu 1 nach
> oben und wieder nach unten geht.Die Folge besteht also aus
> immer dünneren Zacken, die sich nach links verschieben.
>  Wenn ich mich nicht geirrt habe:
>  [mm]f_0(x)=\begin{cases} 4x-2, & \mbox{für }1/2 \le x \le 3/4 \\ -4x+4, & \mbox{für} 3/4 < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> Dann ist [mm]f_1[/mm] zwischen [1/3, 1/2] ein Zacken nach oben:
>  [mm]f_1(x)=\begin{cases} 6x-??, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -6x+??, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> Bei den Fragezeichen hab es nicht geschafft d
> herauszubekommen.

Was soll denn d sein ?

Du machst also den Ansatz

[mm]f_1(x)=\begin{cases} 6x-d, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -6x+c, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]

Da [mm] f_1 [/mm] stetig ist, haben wir

   [mm] f_1(1/3)=0 [/mm]  und [mm] f_1(1/2)=0. [/mm]

Das liefert d=2 und c=3.

Nun kann ich nur sagen: Pech für die junge sympatische Mannschaft, denn [mm] f_1 [/mm] erfüllt die Bedingung

   [mm] ||f_1||=1 [/mm]

nicht !

FRED


>  


Bezug
                                
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:06 Fr 27.03.2015
Autor: sissile

Haha,
ja dann schicke ich:
$ [mm] f_0(x)=\begin{cases} 4x-2, & \mbox{für }1/2 \le x \le 3/4 \\ -4x+4, & \mbox{für} 3/4 < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
$ [mm] f_1(x)=\begin{cases} 12x-4, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -12x+6, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
$ [mm] f_2(x)=\begin{cases} 24x-6, & \mbox{für }1/4 \le x \le 7/24\\ -24x+8, & \mbox{für}7/24 < x \le 1/3 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
ins Rennen ;)
Aber wie schreibe ich  das allgemein hin? Die Zahlenfolge vor dem x:
4,12,24,40,60,84,... Ich erkenne da kein allgemeines Muster, außer alle sind Teiler von 4.

Ist die Funktionenfolge vlt doch nicht so gut durchdacht für das Bsp.?

LG,
sissi


Bezug
                                        
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 29.03.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:09 Mo 30.03.2015
Autor: sissile

Hat noch wer anderer eine Idee für eine andere Funktionenfolge oder kann mir bei meiner helfen?

LG,
sissi

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Mo 30.03.2015
Autor: hippias

Doch, die Idee mit den Huetchenfunktionen ist schon richtig. Es genuegt sicherlich, wenn Du die Funktion mit Worten beschreibst, wenn Du Schwierigkeiten hast ihre Gleichung anzugeben.

Anderenfalls mache folgenden Ansatz: Betrachte das Intervall [mm] $[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] [/mm] mit der Intervall Mitte [mm] $\frac{2n+1}{2n(n+1)}$ [/mm] (o.s.ae). Bestimme nun die Geradengleichung durch die Punkte [mm] $(\frac{1}{n+1},0)$ [/mm] und [mm] $(\frac{2n+1}{2n(n+1)},1)$, [/mm] sowie durch die Punkte [mm] $(\frac{1}{n},0)$ [/mm] und [mm] $(\frac{2n+1}{2n(n+1)},1)$. [/mm] Dann hast Du Deine Funktionenfolge.

Bezug
                                        
Bezug
Funktionenfolge, Einheitskugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Mo 30.03.2015
Autor: sissile

Ah, ich verstehe.
Vielen lieben Dank.

Bezug
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