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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Mo 02.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | [mm] f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR [/mm] , x [mm] \rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}
[/mm]
Untersuchen Sie obige Funktion auf punktweise und gleichmäßige konvergenz und geben Sie ggf. die Grenzwertfunktion f an. |
Hallo,
wollte grad mal obige Aufgabe lösen. Hier mein Lösungsvorschlag:
[mm] f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR [/mm] , x [mm] \rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}
[/mm]
[mm] f_{n} [/mm] konvergiert punktweise, falls [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] existiert.
Also:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0 \surd
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert punktweise.
[mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall \varepsilon [/mm] > 0, wobei [mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x).
[/mm]
Also:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)|=\lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] | [mm] 0-(\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}} [/mm] )|= [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] | [mm] -\bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}|= \lim_{n \rightarrow \infty} |-\bruch{1}{n} \cdot \bruch{1}{e^{\bruch{x}{n}}}| =\lim_{n \rightarrow \infty} |-\bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}}|=\lim_{n \rightarrow \infty} -\bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}} \le \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0 < [mm] \varepsilon \surd
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n} [/mm] konvergiert gleimäßig
Denkt ihr das ist alles richtig so???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hiho,
> [mm]f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR[/mm] , x [mm]\rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
> [mm]f_{n}[/mm] konvergiert punktweise, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] existiert.
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0 \surd[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert punktweise.
Das ist in Ordnung.
> [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)|[/mm]
> < [mm]\varepsilon \forall \varepsilon[/mm] > 0, wobei
> [mm]f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x).[/mm]
Ab hier wirds unsinnig.
Das [mm] \lim_{n\to\infinity} [/mm] hat dort nichts zu suchen oder du verwendest statt des Betrags die Supremumsnorm.
Also entweder du schreibst
$ [mm] |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon \; \forall\, [/mm] x$
oder:
[mm] $\lim_{n\to\infinity} [/mm] ||f - [mm] f_n||_\infty [/mm] = 0$
Deine Umformungen sind aber für den ersten Fall gar nicht schlecht.
Versuche dich also mal daran zu zeigen, dass $ [mm] |f(x)-f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] unabhängig von x! Eine Abschätzung zu [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist da immer sehr hilfreich 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mo 02.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hiho,
>
>
> > [mm]f_{n}:[0, \infty) \rightarrow \IR[/mm] , x [mm]\rightarrow \bruch{1}{n} e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
>
> > [mm]f_{n}[/mm] konvergiert punktweise, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm]
> existiert.
> >
> > Also:
> >
> > [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/mm] = [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}=0 \surd[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow f_{n}[/mm] konvergiert punktweise.
>
> Das ist in Ordnung.
>
>
> > [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} |f(x)-f_{n}(x)|[/mm]
> > < [mm]\varepsilon \forall \varepsilon[/mm] > 0, wobei
> > [mm]f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x).[/mm]
>
> Ab hier wirds unsinnig.
> Das [mm]\lim_{n\to\infinity}[/mm] hat dort nichts zu suchen oder du
> verwendest statt des Betrags die Supremumsnorm.
>
> Also entweder du schreibst
>
> [mm]|f(x)-f_{n}(x)| < \varepsilon \; \forall\, x[/mm]
>
> oder:
>
> [mm]\lim_{n\to\infinity} ||f - f_n||_\infty = 0[/mm]
>
> Deine Umformungen sind aber für den ersten Fall gar nicht
> schlecht.
> Versuche dich also mal daran zu zeigen, dass
> [mm]|f(x)-f_{n}(x)| < \varepsilon[/mm] unabhängig von x! Eine
> Abschätzung zu [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist da immer sehr hilfreich
>
>
> Gruß,
> Gono.
Danke Gono,
ich würde es so machen:
[mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig, falls [mm] |f(x)-f_{n}(x)|< \varepsilon \forall \varepsilon [/mm] > 0, wobei [mm] f(x):=\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x).
[/mm]
Also:
[mm] |f(x)-f_{n}(x)|=|0-(\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}})|=|-\bruch{1}{n}e^{-\bruch{x}{n}}|=\bruch{1}{n} \cdot \bruch{1}{e^{\bruch{x}{n}}}=\bruch{1}{ne^{\bruch{x}{n}}} \le \bruch{1}{n}
[/mm]
darf ich jetzt zum schluss noch schreiben [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ???
oder ist es einfach damit fertig, dass da steht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das ist ja eine nullfolge und fertig???
Und die letzte Frage ist noch: Was ist die Grenzwertfunktion f? Wie ist diese definiert???
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
es fehlt dabei [mm] e^{x/n}\ge [/mm] 1 für alle x aus [mm] (0,\infty)
[/mm]
Grenzwertfunktion kenn ich nicht, deine Grenzfunktion hast du doch selbst geschrieben ist hier f(x)=0
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:18 Di 03.12.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo
> es fehlt dabei [mm]e^{x/n}\ge[/mm] 1 für alle x aus [mm](0,\infty)[/mm]
soll ich das einfach zum schluss hinschreiben? ober wo kommt das genau hin???
> Grenzwertfunktion kenn ich nicht, deine Grenzfunktion hast
> du doch selbst geschrieben ist hier f(x)=0
> Gruß leduart
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Hiho,
na wo schätzt du [mm]e^{x/n}[/mm] denn ab? Und kannst du begründen, warum das immer größer gleich 1 ist?
Gruß,
Gono.
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