Funktionenfolge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Fr 19.01.2007 | | Autor: | juerci |
| Aufgabe | | Es sei [mm] f_{j}(x)=\bruch{x}{1+j^{2}x^{2}}, x\in[0,1] [/mm] eine Funktionenfolge. Man berechne [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_{j}(x) dx}. [/mm] |
Hab leider überhaupt keine Ahnung, wie ich bei diesem Beispiel anfangen soll. Das Problem ist, dass ich dieses Beispiel für meine am Montag stattfindende Prüfung höchstwahrscheinlich können muss. Danke im voraus.
Mit freunlichen Grüßen
Jürgen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jürgen!
[mm] $\bruch{x}{1+j^{2}*x^{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2j^2}*\bruch{2j^2*x}{1+j^2*x^2}$
[/mm]
Nun hast Du im Zähler exakt die Ableitung des Nenners. Anschließend die Grenzen einsetzen und den Grenzwert für [mm] $j\rightarrow\infty$ [/mm] mittels  de l'Hospital ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 19.01.2007 | | Autor: | juerci |
Das Problem liegt dabei, dass wir den de l'hopital nicht verwenden dürfen. Weiters bin ich mir nicht sicher ob ich dem limes mit dem Integral vertauschen darf, also zuerst den limes bilden und dann Integrieren.
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Hi, juerci,
> Das Problem liegt dabei, dass wir den de l'hopital nicht
> verwenden dürfen.
Dann wird's schwierig, weil der Grenzwert den Fall [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] ergibt!
> Weiters bin ich mir nicht sicher ob ich
> dem limes mit dem Integral vertauschen darf, also zuerst
> den limes bilden und dann Integrieren.
Das natürlich AUF GAR KEINEN FALL!!!
Aber das hat Loddar auch nicht gemeint!
Die von ihm vorgeschlagene Umformung ergibt lediglich einen Term, den Du problemlos integrieren kannst (Logarithmus!).
Dann erst Grenzen einsetzen und Grenzwert bestimmen!
mfG!
Zwerglein
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