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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge
[mm] f_{n}: \IR^{+} \to \IR, f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{x}{n^2}*exp(-\bruch{x}{n}) (n\in\IN)
[/mm]
gleichmäßig auf [mm] \IR^{+} [/mm] gegen die Nullfolge konvergiert und dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\infty}{f_{n}(x) dx} [/mm] = 1. |
Hallo!
Ich hab ein kleines Problem mit dieser Aufgabe und stecke gerade ein bisschen fest und komme nicht weiter. Ich habe folgende Abschätzung gemacht:
Mein f(x)=0 und für gleichmäßige Konvergenz zeigt man so:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f(x)|<\varepsilon.
[/mm]
Nun habe ich alles eingesetzt, woraus folgt:
[mm] |\bruch{x}{n^2}*exp(-\bruch{x}{n}) [/mm] - 0|, also [mm] |\bruch{x}{n^2}*exp(-\bruch{x}{n})|.
[/mm]
Nun weiß ich nicht weiter, wie ich abschätzen muss, dass [mm] |\bruch{x}{n^2}*exp(-\bruch{x}{n})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist?
Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen und wie ich den 2. Teil der Aufgabe lösen kann, ist mir auch unklar!
Ich bin für jegliche Tipps/Hinweise dankbar.
Schonmal vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
für beide Aufgabenteile hilft dir die Substitution [mm] z=\bruch{x}{n}.
[/mm]
Im ersten Teil musst du dann zeigen, dass [mm] |\bruch{z*e^{-z}}{n}| [/mm] unabhängig von der Wahl von z kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] zu bekommen ist, im zweiten Teil ist das die geeignete Substitution, um das Integral zu berechnen (mit nachfolgender partieller Integration).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 13.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für deine Hilfe. Ich habe nun mit z substituiert und habe nun wie folgt abgeschätzt:
[mm] |\bruch{z\cdot{}e^{-z}}{n}| \le |z|=|\bruch{x}{n}|.
[/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter. Was ist, wenn x=n ist, dann habe ich [mm] \bruch{n}{n}=1 [/mm] und somit nicht für alle beliebige [mm] \varepsilon [/mm] kleiner. Und man soll es ja für alle [mm] \varepsilon [/mm] zeigen.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen, wäre echt super!
Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 So 13.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du musst ausnutzen, dass [mm] z*e^{-z} [/mm] für positive z beschränkt ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 13.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist dies meine letzte Anschätzung [mm] z\cdot{}e^{-z}. [/mm] Da der limes hiervon gleich null ist kann man immer ein [mm] \varepsilon [/mm] finden, das größer als die Folge ist.
Habe ich das so richtig verstanden?
Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 So 13.04.2014 | | Autor: | fred97 |
1. Zeige: es gibt ein c>0 mit: $ [mm] z\cdot{}e^{-z} \le [/mm] c$ für alle z>0.
2. Aus 1. folgt dann:
0 [mm] \le f_n(x) \le \bruch{c}{n} [/mm] für alle x>0 und alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 13.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die schnelle Antwort!
Ich stehe im Moment aber völlig auf dem Schlauch.
Ist mein c=1/e, also mein größt möglicher Wert?
Oder was soll mein c sonst sein? Wie könnte ich es sonst bestimen?
Hoffe, mir kann weitergeholfen werden! 
Gruß, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 13.04.2014 | | Autor: | fred97 |
Für positives z: $ [mm] z\cdot{}e^{-z} \le [/mm] c $ [mm] \gdw [/mm] z [mm] \le c*e^z.
[/mm]
Schau Dir mal die Potenzreihenentw. von [mm] e^z [/mm] an, dann solltest Du sehen:
[mm] e^z>z [/mm] für z >0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 So 13.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Vielen Dank für die vielen Hilfestellungen!
Ich habs jetzt raus, danke!
Viele Grüße, Petrit!
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