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| Aufgabe | | Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (12-x^2) [/mm] und g(x)= [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (x^2-12). [/mm] Dem von den beiden Kurven begrenzten Flächenstück ist ein achsenparalleles Rechteck mit größtem Flächeninhalt einzuschreiben. Berechne die Abmessung dieses Rechtecks und beweise auch, dass es sich dabei um ein Maximum handelt. Die von beiden Kurven f und g eingeschlossene Fläche und das Rechteck rotieren um die y-Achse. Wie groß sind die Volumina der beiden Drehkörper? |
Wenn ich ehrlich bin verstehe ich leider nicht einmal die Aufgabenstellung so recht :(. Meine Ideen:
Zunächst glaube ich, dass es gut wäre die Schnittpunkte der beiden Graphen zu berechnen:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] (12-x^2)= \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] (x^2-12) [/mm] /*6
[mm] 24-2x^2=x^2-12
[/mm]
[mm] 3x^2=36 [/mm] /3
[mm] x^2=12
[/mm]
[mm] x=\pm \wurzel{12}
[/mm]
Doch jetzt weiß ich leider echt nicht mehr weiter, was ich als nächstes machen soll, da ich die Angabe selbst nicht wirklich verstehe. Was ist ein "Maximum" bei einem Rechteck und wie berechne ich mir dieses? Vielen Dank im Voraus
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> Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](12-x^2)[/mm]
> und g(x)= [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm](x^2-12).[/mm] Dem von den beiden
> Kurven begrenzten Flächenstück ist ein achsenparalleles
> Rechteck mit größtem Flächeninhalt einzuschreiben.
> Berechne die Abmessung dieses Rechtecks und beweise auch,
> dass es sich dabei um ein Maximum handelt. Die von beiden
> Kurven f und g eingeschlossene Fläche und das Rechteck
> rotieren um die y-Achse. Wie groß sind die Volumina der
> beiden Drehkörper?
> Wenn ich ehrlich bin verstehe ich leider nicht einmal die
> Aufgabenstellung so recht :(. Meine Ideen:
Hallo,
erstmal würde ich mir die beiden Graphen aufzeichnen und mir das von den beiden Kurven begrenzte Flächenstück mal anschauen.
> Zunächst glaube ich, dass es gut wäre die Schnittpunkte
> der beiden Graphen zu berechnen:
Auf jeden Fall.
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm](12-x^2)= \bruch{1}{6}[/mm] * [mm](x^2-12)[/mm] /*6
> [mm]24-2x^2=x^2-12[/mm]
> [mm]3x^2=36[/mm] /3
> [mm]x^2=12[/mm]
> [mm]x=\pm \wurzel{12}[/mm]
Ja.
Wenn Du Dein Bild betrachtest, siehst Du, daß Deine Rechnung zu dem, was Du siehst, paßt.
>
> Doch jetzt weiß ich leider echt nicht mehr weiter, was ich
> als nächstes machen soll, da ich die Angabe selbst nicht
> wirklich verstehe.
Es geht jetzt um "möglichst große" achsenparallele Rechtecke, die in die von den Graphen begrenzte Fläche passen.
Eines solcher Rechtecke wäre z.B. das mit den Eckpunkten
[mm] A(1|\bruch{11}{3}), [/mm]
[mm] B(-1|\bruch{11}{3}),
[/mm]
C(-1|- [mm] \bruch{11}{6}),
[/mm]
D(1|- bruch{11}{6}).
Einzeichnen!
Welche Fläche hat es?
Kannst Du noch so ein Rechteck sagen?
Und wie lauten die Koordinaten, wenn Du das Rechteck in Abhängigkeit von x aufschreibst?
A(x|...),
B(-x|...),
C(-x|...),
D(x|...).
Die Fläche in Abhängigkeit von x? F(x)= ...
Welche Werte darf x haben, wenn das Rechteck in dem genannten Flächenstück liegen soll?
> Was ist ein "Maximum" bei einem Rechteck
Es ist das Rechteck gemeint, welches im Flächenstück liegt und den größtmöglichen Flächeninhalt hat.
> und wie berechne ich mir dieses?
Mache eine Extremwertberechnung von F(x).
LG Angela
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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x)= $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $ * $ [mm] (12-x^2) [/mm] $
und g(x)= $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $ * $ [mm] (x^2-12). [/mm] $ Dem von den beiden
Kurven begrenzten Flächenstück ist ein achsenparalleles
Rechteck mit größtem Flächeninhalt einzuschreiben.
> Berechne die Abmessung dieses Rechtecks und beweise auch,
dass es sich dabei um ein Maximum handelt. Die von beiden
Kurven f und g eingeschlossene Fläche und das Rechteck
rotieren um die y-Achse. Wie groß sind die Volumina der
beiden Drehkörper? |
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird mittels der Formel
A=a*b berechnet.
Bei deinem Rechteck kenne ich die Punkte
[mm] A(1/\bruch{11}{3})
[/mm]
[mm] B(-1/\bruch{11}{3})
[/mm]
[mm] C(-1/\bruch{-11}{6})
[/mm]
[mm] D(1/\bruch{-11}{6})
[/mm]
Mittels Vektorrechnung kann ich mir nun die Seitenlängen ausrechnen:
[mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{-1 \\\bruch{11}{3} }-\vektor{1 \\ \bruch{11}{3}}=\vektor{-2 \\ 0} [/mm] dessen betrag =2 LE
[mm] \overrightarrow{BC}= \vektor{-1 \\ \bruch{-11}{6}}-\vektor{-1 \\ \bruch{11}{3}}=\vektor{0 \\ -5,5} [/mm] dessen Betrag=5,5 LE
A= 5,5*2= 11 FE
Die Extremwerte berechnen:
Dazu benötige ich zunächst die 1. Ableitung und ich muss diese nullsetzen:
Die Abhängigkeit wäre doch wie folgt:
bei f(x): [mm] (x/\bruch{-x^2}{3}+4)
[/mm]
bei g(x): [mm] (x/\bruch{x^2}{6}-2)
[/mm]
Nun die 1. Ableitung von f(x):
f'(x)=- [mm] \bruch{2x}{3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{3}
[/mm]
das heißt nun, dass [mm] \pm \bruch{2}{3} [/mm] der x Wert ist. Nun in die Gleichung von f(x) einsetzen:
[mm] P1(\bruch{2}{3}/3,851851) [/mm] Das wäre ein Eckpunkt für ein anderes, jedoch kleineres Rechteck.
[mm] g'(x)=\bruch{2x}{6}
[/mm]
g''(x)= [mm] \bruch{2}{6}
[/mm]
P2 [mm] (\bruch{2}{6}/-1,98148)
[/mm]
Den X Wer jeweils in die andere Gleichung einsetzen und man erhält neue Eckpunkte für neue Rechtecke.
Nun hätte ich jedoch eine dumme und mir sehr peinliche frage<.
was meinst du mit F(x) genau, denn ih bin mir icht sicher. Meinst du damit beide Funktionen gleichgesetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 17.04.2014 | | Autor: | leduart |
hallo
mit Vektoren rechnen ist hier ziemlich überflüssig. die eine Seite ist doch die Differenz der x Werte, und da die Funktionen symmetrisch zur y Achse sind einfach [mm] 2*x_a
[/mm]
wobei [mm] x_a [/mm] dein ausgewähltes x ist. wie kann man die andere Seite allgemein ausrechnen, nachdem man ein x gewählt hat?
dann schreib die Formel für die Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit vom gewählten [mm] x_a [/mm] hin. das ist Fläche F von [mm] x_a,
[/mm]
also hast du dann eine Formel für die Fläche, die nur noch von [mm] x_a [/mm] abhängt. jetzt suchst du das [mm] x_a [/mm] so dass F maximal ist.
einfach irgendwas zu diferezieren ist nicht zeilführend, denn wo f und g ihr max und min haben weisst du ja!
hast du wirklich die Zeichnung gemacht, ? dann müsstest du sagen können warum du f' bildest.
Gruß leduart
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Tut mir Leid leduart, doch ich verstehe leider nicht so recht, was du jetzt meinst, bzw. ich verstehe schlichtweg nicht, was ich machen soll.
Ich habe im Internet sogar den Lösungsweg zu diesem Beispiel gefunden, doch dieser ergibt für mich keinen Sinn.
![[]](/images/popup.gif) http://moodle.gym-leibnitz.at/pluginfile.php/4644/mod_resource/content/1/Matura_1.pdf
(auf S. 26 Bsp 20.). Nur leider ergibt auch dieser für mich nicht wirklich Sinn.
[mm] A=l*b=2u*(\bruch{-u^2}{6}+2)=-\bruch{-u^3}{3}+4u [/mm] => l=2u
Wie kommt man auf die 2u??, ansonsten verstehe ich die Rechnung mittlerweile, jedoch nicht wie man auf die 2u kommt.
Vielen Dank an alle, die mir bisher geholfen haben und die mir jetzt auch noch helfen ;).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 17.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
von -u bis üu sind 2u, das kannst du doch aus diner skizze ablesen?
Gruß lediart
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Tatsache ;).
Danke leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 17.04.2014 | | Autor: | ruf012 |
[mm] f(x)=(12-x^2)/3
[/mm]
[mm] g(x)=(x^2-12)/6
[/mm]
(1) Die Eckpunkte des Rechteckes in f und g
A(-a,b) in f
B(a,b) in f
C(-a,-c) in g
D(a,-c) in g
[mm] b=(12-a^2)/3
[/mm]
[mm] c=(a^2-12)/6
[/mm]
(2)Der Flächeninhalt des Rechteckes
F=2a(b+c)
[mm] F=2a((12-a^2)/3+(a^2-12)/6)=
[/mm]
[mm] 2a(4-(a^2)/3-2+(a^2)/6)=
[/mm]
[mm] 2a(2-2(a^2)/6 +(a^2)/6))=
[/mm]
[mm] 2a(2-(a^2)/6)=
[/mm]
[mm] 4a-(a^3)/3
[/mm]
(3) Die erste Ableitung von F=0 setzen ergibt das Optimum von F.
[mm] F´=4-3(a^2)/3=0
[/mm]
(4)Die Eckpunkte des Rechteckes bestimmen.
[mm] a^2=4
[/mm]
a=2 (a=-2)
[mm] b=(12-2^2)/3=3
[/mm]
[mm] c=(2^2-12)/6=-4/3
[/mm]
--
A(-2,3)
B(2,3)
C(-2,-4/3)
D(2,-4/3)
(5)Die Fläche des Rechteckes bestimmen.
F=2*2(3+4/3)=4(9/3+4/3)=4(13/3)=52/3
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Deine Punkte A und B liegen jedoch leider nicht auf den Graphen, da der y-wert [mm] \pm [/mm] 2,66666 ist. Dennoch danke für deine Hilfe. Laut Lösungsbuch sollte der Flächeninhalt jedoch [mm] \bruch{16}{3} [/mm] betragen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 17.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo ruf012
lieb, dass du im forum mitarbeitest, aber bitte mach nicht die HA für die frager komplett, die verlieren ihr selbstvertrauen, bzw. sie lernen nichts, wenn sie nicht lernen sowas selbst aus einer Skizze abzulesen. Wir wollen doch, dass die Frager was lernen, nicht nur dass sie ihre HA haben. trotzdem Danke für deine Mühe, sicher kannst du auch nächstes Mal gute Tips oder Ratschläge geben.
Gruß leduart
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