Funktionen mehr. Veränderliche < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Do 09.09.2010 | | Autor: | mvs |
| Aufgabe | Die Funktionen [mm] f:\IR^{3}\to\IR^{2} [/mm] und [mm] g:\IR^{2}\to\IR [/mm] sind definiert durch
[mm] f(x,y,z):=\vektor{x^{2}-y^{2} \\ 2x+z^{2}} [/mm] und [mm] g(x,y):=(x+y)^{2},
[/mm]
Ferner seien die Funktionen [mm] F,G:\IR^{3}\to\IR [/mm] definiert durch
F:=g ° f und [mm] G(x,y,z):=F(x,3y^{2}-x,3z)
[/mm]
a) Berechnen Sie F(1,1,1) und G(1,1,1)
b) Berechnen Sie F'(1,2,3) und G'(1,1,1) mit Hilfe der Kettenregel. |
Hallo, ist jemand so nett und schaut mal, ob ich hier alles richtig gemacht habe?
a)
[mm] F(x,y,z)=(x^{2}-y^{2}+2x+z^{2})^{2}
[/mm]
[mm] F(1,1,1)=(1^{2}-1^{2}+2*1+1^{2})^{2}=3^{2}=9
[/mm]
[mm] G(x,y,z)=F(x,3y^{2}-x,3z)=(x^{2}-(3y^{2}-x)^{2}+2x+(3z)^{2})
[/mm]
[mm] G(1,1,1)=(1^{2}-(3*1^{2}-1)^{2}+2*1+(3*1)^{2})=8
[/mm]
b)
[mm] F'(x,y,z)=(2*(x^{2}-y^{2}+2x+z^{2})*(2x+2),2*(x^{2}-y^{2}+2x+z^{2})*(-2y),2*(x^{2}-y^{2}+2x+z^{2})*2z)
[/mm]
[mm] F'(1,2,3)=(2*(1^{2}-2^{2}+2*1+3^{2})*(2*1+2),2*(1^{2}-2^{2}+2*1+3^{2})*(-2*2),2*(1^{2}-2^{2}+2*1+3^{2})*2*3)=(64,-64,96)
[/mm]
[mm] h(x,y,z)=(x,3y^{2}-x,3z)
[/mm]
[mm] G'(x,y,z)=F'(h(x,y,z))*h'(x,y,z)=F'(h(x,y,z))*\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 6y & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
[mm] G'(1,1,1)=F'(1,2,3)*\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }=(64,-64,96)*\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }=(64,-448,288)
[/mm]
Vielen Dank im voraus
gruß
Michael
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Michael,
das ist komplett richtig!
edit: MathePower hat Recht. Das Quadrat habe ich auch übersehen. Es las sich sonst alles so gut... 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend,
> Hallo Michael,
>
> das ist komplett richtig!
Leider nicht, da
[mm] G(1,1,1)=(1^{2}-(3\cdot{}1^{2}-1)^{2}+2\cdot{}1+(3\cdot{}1)^{2})^{\red{2}}=8^{2}=64[/mm]
>
> Grüße
> reverend
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo mvs,
> Die Funktionen [mm]f:\IR^{3}\to\IR^{2}[/mm] und [mm]g:\IR^{2}\to\IR[/mm] sind
> definiert durch
> [mm]f(x,y,z):=\vektor{x^{2}-y^{2} \\ 2x+z^{2}}[/mm] und
> [mm]g(x,y):=(x+y)^{2},[/mm]
>
> Ferner seien die Funktionen [mm]F,G:\IR^{3}\to\IR[/mm] definiert
> durch
> F:=g ° f und [mm]G(x,y,z):=F(x,3y^{2}-x,3z)[/mm]
>
> a) Berechnen Sie F(1,1,1) und G(1,1,1)
> b) Berechnen Sie F'(1,2,3) und G'(1,1,1) mit Hilfe der
> Kettenregel.
> Hallo, ist jemand so nett und schaut mal, ob ich hier
> alles richtig gemacht habe?
>
> a)
>
> [mm]F(x,y,z)=(x^{2}-y^{2}+2x+z^{2})^{2}[/mm]
> [mm]F(1,1,1)=(1^{2}-1^{2}+2*1+1^{2})^{2}=3^{2}=9[/mm]
>
> [mm]G(x,y,z)=F(x,3y^{2}-x,3z)=(x^{2}-(3y^{2}-x)^{2}+2x+(3z)^{2})[/mm]
> [mm]G(1,1,1)=(1^{2}-(3*1^{2}-1)^{2}+2*1+(3*1)^{2})=8[/mm]
Das stimmt nicht.
Vielmehr ist
[mm]G(1,1,1)=(1^{2}-(3*1^{2}-1)^{2}+2*1+(3*1)^{2})^{\red{2}}=8^{2}=64[/mm]
>
> Vielen Dank im voraus
>
> gruß
> Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Fr 10.09.2010 | | Autor: | mvs |
ok, vielen dank, Flüchtigkeitsfehler meinerseits.
gruß
Michael
|
|
|
|
