Funktionen in \IR^{2} und \IR < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mo 05.10.2015 | | Autor: | Cccya |
Meine Frage ist folgende: Angenommen ich betrachte die Funktionen f: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] (x,y) --> f(x,y) und die Funktionen g: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] x --> g(x).
Kann ich nun behaupten, dass die Funktionen g eine Teilmenge der Funktionen f sind? Weil für jede Funktion g kann ich eine Funktion f finden, so dass f(x,y)=g(x)+0*y=g(x). Sprich wenn ich eine bestimmte Funktion f mit bestimmten Eigenschaften finden soll, kann ich z.B. eine Funktion [mm] f(x,y)=g(x)+0*y=g(x)=x^{3} [/mm] wählen und die gesuchten Eigenschaften für diese zeigen?
Vielen Dank!
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> Meine Frage ist folgende: Angenommen ich betrachte die
> Funktionen f: [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR,[/mm] (x,y) --> f(x,y) und die
> Funktionen g: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR,[/mm] x --> g(x).
> Kann ich nun behaupten, dass die Funktionen g eine
> Teilmenge der Funktionen f sind?
Das solltest du erstens besser formulieren, und zweitens
ist die Antwort wohl ein Nein.
Zwar kann man Funktionen in bestimmter Weise auch als
Mengen auffassen - aber eine Teilmengenbeziehung in der
Art, wie du sie suchst, passt dann schon aus formalen
Gründen nicht.
> Weil für jede Funktion g
> kann ich eine Funktion f finden, so dass
> f(x,y)=g(x)+0*y=g(x). Sprich wenn ich eine bestimmte
> Funktion f mit bestimmten Eigenschaften finden soll, kann
> ich z.B. eine Funktion [mm]f(x,y)=g(x)+0*y=g(x)=x^{3}[/mm] wählen
> und die gesuchten Eigenschaften für diese zeigen?
Ich würde empfehlen, dass du genau angibst, was du
eigentlich bewerkstelligen willst. Hast du eine konkrete
Aufgabenstellung ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mo 05.10.2015 | | Autor: | Cccya |
Aufgabe: Finden Sie eine Funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] die quasi-konkav, aber nicht konkav ist. Beweisen Sie ihre Antwort.
Ich habe [mm] g(x)=x^{3} [/mm] gewählt und bewiesen, dass dies nicht konkav aber quasikonkav ist. Weil ich annahm das [mm] g(x)=x^{3}+0*y=f(x,y) [/mm] (auch) eine Funktion von [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 05.10.2015 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Aufgabe: Finden Sie eine Funktion f: $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ --> $ [mm] \IR, [/mm] $ die quasi-konkav, aber nicht konkav ist. Beweisen Sie ihre Antwort.
Ich habe $ [mm] g(x)=x^{3} [/mm] $ gewählt und bewiesen, dass dies nicht konkav aber quasikonkav ist. Weil ich annahm das $ [mm] g(x)=x^{3}+0\cdot{}y=f(x,y) [/mm] $ (auch) eine Funktion von $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ --> $ [mm] \IR [/mm] $ ist. |
Ist das korrekt?
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> Aufgabe: Finden Sie eine Funktion f: [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR,[/mm] die
> quasi-konkav, aber nicht konkav ist. Beweisen Sie ihre
> Antwort.
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> Ich habe [mm]g(x)=x^{3}[/mm] gewählt und bewiesen, dass dies nicht
> konkav aber quasikonkav ist.
Richtig. Diese Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] ist sogar quasikonkav
und quasikonvex, also "quasilinear".
Sie ist aber weder konvex noch konkav.
> Weil ich annahm das
> [mm]g(x)=x^{3}+0\cdot{}y=f(x,y)[/mm] (auch) eine Funktion von
> [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR[/mm] ist.
> Ist das korrekt?
Natürlich hast du damit eine Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] .
Jetzt solltest du nur noch exakt nachweisen, dass auch
für sie die fraglichen Eigenschaften (quasikonkav, aber nicht
konkav) zutreffen.
Dein Beispiel hat aber einen Nachteil, da es hier (unendlich
viele) Verbindungsstrecken von Punktepaaren des Graphen
gibt, welche weder über noch unter dem Graph, sondern
in diesem liegen. Ich würde also ein Beispiel vorziehen,
das als Graph eine "echt" gekrümmte Fläche hat.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:44 Do 08.10.2015 | | Autor: | Cccya |
Aber ist es nicht dasselbe die Eigenschaften für g(x) zu zeigen wie sie für f(x,y) zu zeigen, weil g(x)=f(x,y)?
Sprich wenn ich [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] aus dem oberen contour set [mm] C_{a}^{+} [/mm] von g(x) wähle und somit [mm] (x_{1})^3 \ge [/mm] a und [mm] (x_{2})^3 \ge [/mm] a
=> [mm] x_{1} \ge (a)^{1/3} [/mm] und [mm] x_{2} \ge (a)^{1/3}
[/mm]
=> [mm] (tx_{1} [/mm] + [mm] (1-t)x_{2})^3 \ge (t(a)^{1/3} [/mm] + [mm] (1-t)(a)^{1/3})^3 [/mm]
[mm] =((a)^{1/3})^3=a
[/mm]
=> [mm] tx_{1} [/mm] + [mm] (1-t)x_{2} \in C_{a}^{+}
[/mm]
=> convex set
=> quasikonkav
Ist das nicht ausreichend? Oder muss ich tatsächlich [mm] (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}) \in C_{a}^{+} [/mm] von f(x,y) betrachten? Anders gesagt: Wäre die Aufgabe Teil einer Klausur und ich würde um Quasikonkavität zu zeigen das obige schreiben, wäre das unzureichend weil ich nur in [mm] \IR [/mm] argumentiere?
Danke dir!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Do 08.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Aber ist es nicht dasselbe die Eigenschaften für g(x) zu
> zeigen wie sie für f(x,y) zu zeigen, weil g(x)=f(x,y)?
Tja, das wäre noch zu zeigen .......
> Sprich wenn ich [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] aus dem oberen contour set
> [mm]C_{a}^{+}[/mm] von g(x) wähle und somit [mm](x_{1})^3 \ge[/mm] a und
> [mm](x_{2})^3 \ge[/mm] a
> => [mm]x_{1} \ge (a)^{1/3}[/mm] und [mm]x_{2} \ge (a)^{1/3}[/mm]
> =>
> [mm](tx_{1}[/mm] + [mm](1-t)x_{2})^3 \ge (t(a)^{1/3}[/mm] + [mm](1-t)(a)^{1/3})^3[/mm]
> [mm]=((a)^{1/3})^3=a[/mm]
> => [mm]tx_{1}[/mm] + [mm](1-t)x_{2} \in C_{a}^{+}[/mm]
> => convex set
> => quasikonkav
Damit hast Du nur gezeigt, dass [mm] g(x)=x^3 [/mm] quasikonkav ist.
> Ist das nicht ausreichend? Oder muss ich tatsächlich
> [mm](x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}) \in C_{a}^{+}[/mm] von f(x,y)
> betrachten?
Ja.
> Anders gesagt: Wäre die Aufgabe Teil einer
> Klausur und ich würde um Quasikonkavität zu zeigen das
> obige schreiben, wäre das unzureichend weil ich nur in [mm]\IR[/mm]
> argumentiere?
Ja, das würde mir nicht genügen.
FRED
> Danke dir!
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