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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | Seien [mm] (K,d_K) [/mm] und [mm] (N,d_N) [/mm] metrische Räume und f: K [mm] \to [/mm] N eine stetige Funktion.
K kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] f(K) kompakt |
Hallöle an alle,
hab da mal wieder ne Aufgabe, bei der ich mit meiner Lösung nicht sicher bin.
Beweis: Sei [mm] (y_n)_{n \in \IN} [/mm] Folge in f(K).
D.h. also es ex. zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] x_n \in [/mm] X mit [mm] y_n [/mm] = [mm] f(x_n).
[/mm]
Da ja K kompakt ist [mm] \Rightarrow [/mm] Es ex. eine konvergente Teilfolge [mm] (x_n_k)_{k \in \IN} [/mm] von [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] x_n_k \to [/mm] x [mm] \in [/mm] X für k [mm] \to \infty.
[/mm]
(* f stetig [mm] \Rightarrow [/mm] Zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] d(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow d(f(x_n),f(x_0)) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0))
[/mm]
Also gilt da f stetig und * [mm] \Rightarrow y_n_k [/mm] = [mm] f(x_n_k) \to [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(K) für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Haben also konvergente Teilfolge in f(K) [mm] \Rightarrow [/mm] f(K) kompakt.
So nun meine Frage, kann ich das so beweisen oder stimmt das so nicht?
Danke für eure Antworten schonmal im voraus!
Nen schönen Abend noch!
Grüßle
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Gero!
> Seien [mm](K,d_K)[/mm] und [mm](N,d_N)[/mm] metrische Räume und f: K [mm]\to[/mm] N
> eine stetige Funktion.
> K kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] f(K) kompakt
> Hallöle an alle,
>
> hab da mal wieder ne Aufgabe, bei der ich mit meiner Lösung
> nicht sicher bin.
>
> Beweis: Sei [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm] Folge in f(K).
> D.h. also es ex. zu jedem n [mm]\in \IN[/mm] ein [mm]x_n \in[/mm] X mit [mm]y_n[/mm]
> = [mm]f(x_n).[/mm]
> Da ja K kompakt ist [mm]\Rightarrow[/mm] Es ex. eine konvergente
> Teilfolge [mm](x_n_k)_{k \in \IN}[/mm] von [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] mit
> [mm]x_n_k \to[/mm] x [mm]\in[/mm] X für k [mm]\to \infty.[/mm]
So weit so richtig.
> (* f stetig [mm]\Rightarrow[/mm] Zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert
> [mm]\delta[/mm] > 0 mit [mm]d(x,x_0)[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow d(f(x_n),f(x_0))[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(x_n) \to f(x_0))[/mm]
> Also gilt da f stetig und
> * [mm]\Rightarrow y_n_k[/mm] = [mm]f(x_n_k) \to[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(K) für k [mm]\to \infty.[/mm]
Also [mm] $\lim f(x_{n_k}) [/mm] = f(x)$ folgt auch schon direkt aus der Stetigkeit 
> Haben also konvergente Teilfolge in f(K) [mm]\Rightarrow[/mm] f(K)
> kompakt.
Genau.
> So nun meine Frage, kann ich das so beweisen oder stimmt
> das so nicht?
Ja, kannst du.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 04.05.2006 | | Autor: | Gero |
Oh, gut! Dann hab ich mir schon ein paar Zeilen gespart! *g*
Danke für die Antwort!
Liebe Grüße
Gero
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