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| Aufgabe | Für die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{2x+7}{3x-1} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [0, 1]
sollen a und b [mm] \in \IR [/mm] gefunden werden, sodass gilt: a [mm] \le [/mm] |f(x)| [mm] \le [/mm] b |
Hallo,
Zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage, die weiter unten folgt.
Meine Lösung (in kurzform aufgeschrieben, mir gehts nur speziell um meine Frage):
Zähler nach oben und unten abschätzen:
[mm] 7\le2x+7\le9 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0, 1]
Nenner nach oben und unten abschätzen:
[mm] -1\le3x-1\le2 [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0, 1]
Nun fällt ja auf, dass die Funktion im gegebenen Intervall nicht vollständig definiert ist, da für [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] der Nenner ja 0 wird und an der Stelle [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] der Funktionswert somit unendlich groß. Somit gilt für den Nenner:
[mm] -1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0, 1]
----------------------------------------
So bis hierhin soweit die Mitschrift aus der Vorlesung an diesem Beispiel.
Meine Frage dazu nun:
Kann man dann auch schreiben, dass der Bruch insgesamt nicht nachoben hin abschätzbar ist? Also:
[mm] -1\le\bruch{2x+7}{3x-1}\le \infty [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0, 1]
Wäre das auch richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Für die Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x+7}{3x-1}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
> sollen a und b [mm]\in \IR[/mm] gefunden werden, sodass gilt:
> [mm]a\lef(x)\leb[/mm]
Hier ist dir etwas verloren gegangen: was soll den genau gelten?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 So 17.02.2013 | | Autor: | Peeter123 |
Hallo Diophant,
Der Startpost wurde inzwischen von mir richtig editiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Sa 16.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Für die Funktion
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x+7}{3x-1}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
> sollen a und b [mm]\in \IR[/mm] gefunden werden, sodass gilt: a [mm]\le[/mm]
> f(x) [mm]\le[/mm] b
Hallo Peeter,
die Funktion f(x) hat an der Stelle 1/3 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Damit gehen Funktionswerte gegen plus und minus unendlich.
Welche reellen Zahlen a und b "können mehr"?
Gruß Abakus
>
> Hallo,
>
> Zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage, die weiter unten
> folgt.
>
>
> Meine Lösung (in kurzform aufgeschrieben, mir gehts nur
> speziell um meine Frage):
>
>
> Zähler nach oben und unten abschätzen:
>
> [mm]7\le2x+7\le9[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
> Nenner nach oben und unten abschätzen:
>
> [mm]-1\le3x-1\le2[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
>
> Nun fällt ja auf, dass die Funktion im gegebenen Intervall
> nicht vollständig definiert ist, da für [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
> der Nenner ja 0 wird und an der Stelle [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm] der
> Funktionswert somit unendlich groß. Somit gilt für den
> Nenner:
>
> [mm]-1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
>
> ----------------------------------------
>
> So bis hierhin soweit die Mitschrift aus der Vorlesung an
> diesem Beispiel.
>
> Meine Frage dazu nun:
>
> Kann man dann auch schreiben, dass der Bruch insgesamt
> nicht nachoben hin abschätzbar ist? Also:
>
>
> [mm]-1\le\bruch{2x+7}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
>
> Wäre das auch richtig?
>
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Hallo abakus,
> die Funktion f(x) hat an der Stelle 1/3 eine Polstelle mit
> Vorzeichenwechsel. Damit gehen Funktionswerte gegen plus
> und minus unendlich.
> Welche reellen Zahlen a und b "können mehr"?
Ich verstehe die Frage nicht. Was meinst du mit "können mehr"?
> >
> > Kann man dann auch schreiben, dass der Bruch insgesamt
> > nicht nachoben hin abschätzbar ist? Also:
> >
> >
> > [mm]-1\le\bruch{2x+7}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
Ist dies denn richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo abakus,
>
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> > die Funktion f(x) hat an der Stelle 1/3 eine Polstelle mit
> > Vorzeichenwechsel. Damit gehen Funktionswerte gegen plus
> > und minus unendlich.
> > Welche reellen Zahlen a und b "können mehr"?
>
>
> Ich verstehe die Frage nicht. Was meinst du mit "können
> mehr"?
>
>
>
>
> > >
> > > Kann man dann auch schreiben, dass der Bruch insgesamt
> > > nicht nachoben hin abschätzbar ist? Also:
> > >
> > >
> > > [mm]-1\le\bruch{2x+7}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
>
> Ist dies denn richtig?
Nein.
1. Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{2x+7}{3x-1} [/mm] ist im Punkt x=1/3 nicht definiert !!!!
Überprüfe die Aufgabenstellung !
2. Berechne man [mm] \limes_{x\rightarrow 1/3+}f(x) [/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow 1/3-}f(x) [/mm]
FRED
>
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Hallo,
> > > >
> > > > Kann man dann auch schreiben, dass der Bruch insgesamt
> > > > nicht nachoben hin abschätzbar ist? Also:
> > > >
> > > >
> > > > [mm]-1\le\bruch{2x+7}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
> >
> >
> > Ist dies denn richtig?
>
> Nein.
>
> 1. Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{2x+7}{3x-1}[/mm] ist im Punkt x=1/3
> nicht definiert !!!!
>
> Überprüfe die Aufgabenstellung !
>
> 2. Berechne man [mm]\limes_{x\rightarrow 1/3+}f(x)[/mm]
>
> und [mm]\limes_{x\rightarrow 1/3-}f(x)[/mm]
Und wieso ist
$ [mm] -1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ [0, 1]
dann richtig? (ich gehe mal davon aus, dass dies richtig ist, denn das stammt aus der Vorlesung).
Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{3x-1} [/mm] ist an der Stelle [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] ja auch nicht definiert....
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Hallo,
> Und wieso ist
>
> [mm]-1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
> dann richtig?
Das ist nicht richtig sondern falsch. Das einzusehen wurde auch in allen bisher gegebenen Antworten versucht, dir durch Tipps nahezubringen. Die obige Funktion, genauso wie die aus dem Themenstart, haben an der Stelle x=1/3 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, insofern kann man sie nicht in einem Intervall abschätzen, welches diese Polstelle enthält.
> (ich gehe mal davon aus, dass dies richtig
> ist, denn das stammt aus der Vorlesung).
>
Das ist keine gute Logik. Damit hörst du auf, dein eigenes Tun zu hinterfragen...
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > Und wieso ist
> >
> > [mm]-1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
> >
> > dann richtig?
>
> Das ist nicht richtig sondern falsch. Das einzusehen wurde
> auch in allen bisher gegebenen Antworten versucht, dir
> durch Tipps nahezubringen. Die obige Funktion, genauso wie
> die aus dem Themenstart, haben an der Stelle x=1/3 eine
> Polstelle mit Vorzeichenwechsel,
Die Funktion $ [mm] f(x)=\bruch{1}{3x-1} [/mm] $ hat auf x [mm] \in [/mm] [0, 1] eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, ok. Da stimme ich dir nun zu.
Aber bei der Aufgabenstellung soll ja nicht f(x) abgeschätzt werden sondern [mm] |f(x)|=|\bruch{1}{3x-1}| [/mm] $, welche doch kein Vorzeichenwechsel hat, aber dennoch eine Polstelle.
Wenn ich mir nun [mm] |f(x)|=|\bruch{1}{3x-1}| [/mm] plotte, dann sieht man, dass der Funktionswert immer größer wird (und "unendlich groß" wird), je näher man sich [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] annähert.
Insofern ist die Abschätzung (Betonung liegt hier auf Abschätzung, da wir nur abschätzen!)
$ [mm] -1\le |\bruch{1}{3x-1}| \le \infty [/mm] $
doch korrekt, sofern wir Betragsstriche drum setzen wie ich es jetzt getan habe. Eventuell noch mit dem Hinweis, dass die Funktion bei [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] nicht definiert ist und somit nicht nach oben hin abschätzbar ist.
Eventuell hat der Prof nur die Betragsstriche vergessen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das komplett falsch wäre. Vielleicht etwas schwammig oder grob oder stark verkürzt, aber komplett falsch? Ich muss hier auch erwähnen, dass wir keinen Limes usw besprochen haben. Alles was im Startpost zu diesem Beispiel steht, haben wir besprochen. Mehr nicht.
insofern kann man sie
> nicht in einem Intervall abschätzen, welches diese
> Polstelle enthält.
>
> > (ich gehe mal davon aus, dass dies richtig
> > ist, denn das stammt aus der Vorlesung).
> >
>
> Das ist keine gute Logik. Damit hörst du auf, dein eigenes
> Tun zu hinterfragen...
>
>
> Gruß, Diophant
>
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Hallo,
> Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{3x-1}[/mm] hat auf x [mm]\in[/mm] [0, 1] eine
> Polstelle mit Vorzeichenwechsel, ok. Da stimme ich dir nun
> zu.
>
> Aber bei der Aufgabenstellung soll ja nicht f(x)
> abgeschätzt werden sondern [mm]|f(x)|=|\bruch{1}{3x-1}|[/mm] $,
Ok, das konnte ich nicht wissen. Meine Kristallkugel ist leider gerade in der Reparatur, weil sie völlig überstrapaziert war.
> welche doch kein Vorzeichenwechsel hat, aber dennoch eine
> Polstelle.
> Wenn ich mir nun [mm]|f(x)|=|\bruch{1}{3x-1}|[/mm] plotte, dann
> sieht man, dass der Funktionswert immer größer wird (und
> "unendlich groß" wird), je näher man sich [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
> annähert.
>
> Insofern ist die Abschätzung (Betonung liegt hier auf
> Abschätzung, da wir nur abschätzen!)
>
> [mm]-1\le |\bruch{1}{3x-1}| \le \infty[/mm]
>
> doch korrekt, sofern wir Betragsstriche drum setzen wie ich
> es jetzt getan habe. Eventuell noch mit dem Hinweis, dass
> die Funktion bei [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm] nicht definiert ist und
> somit nicht nach oben hin abschätzbar ist.
>
> Eventuell hat der Prof nur die Betragsstriche vergessen.
Immer die bösen Profs. Tatsache ist, dass die Betragsstriche in deiner obigen Frage zum ersten Mal auftauchen und mit deiner Ausgangsfrage halt überhaupt nichts zu tun haben.
Gruß, Diophant
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> Ok, das konnte ich nicht wissen. Meine Kristallkugel ist
> leider gerade in der Reparatur, weil sie völlig
> überstrapaziert war.
Ich entschuldige mich vielmals! In der Aufgabenstellung sollte es natürlich heißen:
a $ [mm] \le [/mm] $ |f(x)| $ [mm] \le [/mm] $ b
und nicht
a $ [mm] \le [/mm] $ f(x) $ [mm] \le [/mm] $ b
Habe es nun entsprechend angepasst.
Aber der Rest stand so komplett an der Tafel, auch:
$ [mm] -1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ [0, 1]
Jetzt verstehe ich aber warum dies falsch ist ohne Betragsstriche:
Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{3x-1} [/mm] hat an der Polstelle einen Vorzeichenwechsel. Daher wäre folgendes richtig:
$ - [mm] \infty \le\bruch{1}{3x-1}\le \infty [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ [0, 1]
----------------------
Um auf meine Ursprungsfrage nochmal zurückzukehren:
$ [mm] -1\le [/mm] | [mm] \bruch{2x+7}{3x-1} [/mm] | [mm] \le \infty [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ [0, 1]
und
$ - [mm] \infty \le \bruch{2x+7}{3x-1} \le \infty [/mm] $ für x $ [mm] \in [/mm] $ [0, 1]
Wären aber nun beide richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
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> > Ok, das konnte ich nicht wissen. Meine Kristallkugel ist
> > leider gerade in der Reparatur, weil sie völlig
> > überstrapaziert war.
>
>
> Ich entschuldige mich vielmals! In der Aufgabenstellung
> sollte es natürlich heißen:
>
> a [mm]\le[/mm] |f(x)| [mm]\le[/mm] b
Dann kannst Du doch sofort a=0 wählen !
>
> und nicht
>
> a [mm]\le[/mm] f(x) [mm]\le[/mm] b
>
> Habe es nun entsprechend angepasst.
>
> Aber der Rest stand so komplett an der Tafel, auch:
>
> [mm]-1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
Das ist Unsinn. Mit Betrag hattest Du oben
[mm] -1\le|\bruch{1}{3x-1}|\le \infty
[/mm]
Das ist nicht falsch, aber da der Betrag von blublblubber immer [mm] \ge [/mm] 0 ist, ist die -1 schon ziemlich doof.
>
> Jetzt verstehe ich aber warum dies falsch ist ohne
> Betragsstriche:
>
> Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{3x-1}[/mm] hat an der Polstelle
> einen Vorzeichenwechsel. Daher wäre folgendes richtig:
>
> [mm]- \infty \le\bruch{1}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,
> 1]
>
>
Ja
> ----------------------
>
>
>
> Um auf meine Ursprungsfrage nochmal zurückzukehren:
>
> [mm]-1\le | \bruch{2x+7}{3x-1} | \le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,
> 1]
>
> und
>
> [mm]- \infty \le \bruch{2x+7}{3x-1} \le \infty[/mm] für x
> [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
>
> Wären aber nun beide richtig?
Ja, aber wie gesagt, die -1 in [mm]-1\le | \bruch{2x+7}{3x-1} | \le \infty[/mm] ist hohl !
FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 So 17.02.2013 | | Autor: | Peeter123 |
Stimmt, Beträge sind ja immer größer/gleich 0.
Danke euch vielmals und nochmals Sorry für den Fehler in der Aufgabenstellung!!!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > > >
> > > > > Kann man dann auch schreiben, dass der Bruch insgesamt
> > > > > nicht nachoben hin abschätzbar ist? Also:
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]-1\le\bruch{2x+7}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
> > >
> > >
> > > Ist dies denn richtig?
> >
> > Nein.
> >
> > 1. Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{2x+7}{3x-1}[/mm] ist im Punkt x=1/3
> > nicht definiert !!!!
> >
> > Überprüfe die Aufgabenstellung !
> >
> > 2. Berechne man [mm]\limes_{x\rightarrow 1/3+}f(x)[/mm]
> >
> > und [mm]\limes_{x\rightarrow 1/3-}f(x)[/mm]
>
>
> Und wieso ist
>
> [mm]-1\le\bruch{1}{3x-1}\le \infty[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0, 1]
>
> dann richtig?
Es ist nicht richtig ! Setz doch mal x=1/4 ein.
FRED
(ich gehe mal davon aus, dass dies richtig
> ist, denn das stammt aus der Vorlesung).
>
> Die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{3x-1}[/mm] ist an der Stelle
> [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm] ja auch nicht definiert....
>
>
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