Funktionen Folge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:23 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f_n(x)=x+\frac{1}{n}$ [/mm]
[mm] $n\in\mathbb{N}, x\in\mathbb{R}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $f_n$ [/mm] glm. gegen eine Funktion f konvergiert. |
Hi, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere zur Supremumsnorm.
Das diese Funktionen Folge gegen f(x)=x konvergiert ist ziemlich offensichtlich. Nun wollte ich
[mm] $\lim_{n\to\infty} ||x+\frac{1}{n}-x||_{\infty}=0$ [/mm] zeigen.
Nur hänge ich gerade ein wenig daran was [mm] $||\frac{1}{n}||_{\infty}$ [/mm] ist.
Also die Folge [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] konvergiert ja gegen Null. Das ist klar, aber das Supremum, wäre ja die 1. Ist die Supremumsnorm dann 1 oder Null? Oder etwas was noch in Abhängigkeit von n steht?
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:04 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] ||f_n-f||_{\infty}= [/mm] sup [mm] \{|f_n(x)-f(x)| : x \in \IR \}=\bruch{1}{n} [/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Also [mm] $||\frac{1}{n}||_{\infty}=\frac{1}{n}$?
[/mm]
Woran erkenne ich dies denn? Für [mm] $f_n-f$ [/mm] ist also [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] immer das Supremum?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
[mm] f_n(x)-f(x)=x+\bruch{1}{n}-x=\bruch{1}{n} [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
[mm] f_n-f [/mm] ist also auf [mm] \IR [/mm] konstant, somit ist
[mm] ||f_n-f||_{\infty}=\bruch{1}{n}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das was ich nicht verstehe ist warum nun
[mm] $||\frac{1}{n}||_{\infty}=\frac{1}{n}$
[/mm]
und nicht 1. Denn 1 wäre ja das Supremum von [mm] $\frac{1}{n}$.
[/mm]
Verstehe ich die Supremumsnorm falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Fred hat es doch schon deutlich gemacht in seinem ersten Beitrag dazu:
[mm] \sup\{|f_n(x)-f(x)|:\ x\in\IR\}
[/mm]
Das Supremum ist bzgl der Variablen x und nicht bzgl n. Da der Ausdruck [mm] f_n(x)-f(x) [/mm] in diesem Fall konstant ist, spielt das Supremum keine Rolle.
Ich glaube, dass war einfach das Entscheidende, was für das Verständnis fehlte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, okay. Das heißt also, dass man die Supremumsnorm immer bezüglich einer Variablen betrachtet und die Supremumsnorm von einer Konstanten einfach die Konstante selbst ist. Würde Sinn machen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah, okay. Das heißt also, dass man die Supremumsnorm immer
> bezüglich einer Variablen betrachtet und die Supremumsnorm
> von einer Konstanten einfach die Konstante selbst ist.
> Würde Sinn machen.
Warum nimmst Du nicht einfach die Definition ??? Dann siehst Du doch sofort, was gespielt wird:
Sei $D$ eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine beschränkte Funktion. Dann ist
[mm] ||f||_{\infty}:= \sup \{|f(x)|: x \in D\}.
[/mm]
Ist nun $f$ auf $D$ konstant, etwa $f(x)=c$ für alle $x [mm] \in [/mm] D$, so ist
[mm] $\sup \{|f(x)|: x \in D\}= \sup \{|c| \}=|c|$
[/mm]
Also
[mm] $||f||_{\infty}=|c|$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte die Folge [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] nicht als Konstant angesehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hatte die Folge [mm]\frac{1}{n}[/mm] nicht als Konstant
> angesehen.
Als Folge ist [mm](\frac{1}{n})[/mm] ja auch nicht konstant.
Was wolltest Du ? Das:
für zunächst festes $ n [mm] \in \IN$ [/mm] wolltest Du [mm] ||f_n-f||_{\infty} [/mm] ausrechnen und dann schauen, was die Folge [mm] (||f_n-f||_{\infty}) [/mm] für $n [mm] \to \infty$ [/mm] treibt.
Für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist (ich denke das haben wir geklärt)
[mm] ||f_n-f||_{\infty}=\frac{1}{n}.
[/mm]
Damit haben wir: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||f_n-f||_{\infty}=0.
[/mm]
Fazit: die Folge [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig gegen $f$.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 15.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hatte die Folge [mm]\frac{1}{n}[/mm] nicht als Konstant
> angesehen.
ist sie auch nicht. Für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
[mm] $\|f_n-f\|_\infty=\frac{1}{n}\,,$
[/mm]
denn die Menge
[mm] $\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in \IR\}$
[/mm]
ist einelementig:
[mm] $\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in \IR\}=\{\tfrac{1}{n}\}\,.$
[/mm]
Daher ist
[mm] $\sup\{|f_n(x)-f(x)|:\;\;x \in \IR\}=\sup\{\tfrac{1}{n}\}=\tfrac{1}{n}\,.$
[/mm]
(Mach' Dir mal eine Skizze für die Funktion [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] und für die Funktionen
[mm] $f_n(x):=x+1/n$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Jetzt bilde mal [mm] $g_n(x):=|f_n(x)-f(x)|$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] bzw. mach'
Dir klar, wo Du in Deiner Skizze so etwas schonmal siehst. Was bedeutet es
dann, sich [mm] $\sup\{g_n(x):\;\; x \in \IR\}$ [/mm] anzuschauen [Interpretation]? Hier könntest
Du auch [mm] $\sup$ [/mm] durch [mm] $\max$ [/mm] ersetzen - aber i.a. ist das nicht möglich...)
Der Rest folgt aus
![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 15.4, 2. (Seite 139, Zählung oben rechts)
P.S. Bis auf den Verweis auf den Satz und vielleicht die Idee, dass Du Dir
das mal veranschaulichen solltest, wurde das hier eigentlich alles schon
gesagt.
Und mal rein des Spaßes wegen, damit Du siehst, dass man nicht immer [mm] $\max$
[/mm]
für [mm] $\sup$ [/mm] benutzen kann:
Es sei
[mm] $h_n(x):=\begin{cases} x+\frac{1}{n}*\cos(x), & \mbox{für } x \notin \pi*\IZ \\ x, & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
Dann konvergiert [mm] $(h_n)$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $h(x):=x\,.$ [/mm] Was ist
[mm] $\sup\{|h_n(x)-h(x)|:\;\; x \in \IR\}$?
[/mm]
Du siehst hier insbesondere auch, dass eine Folge unstetiger Funktionen
durchaus eine stetige Grenzfunktion haben kann, gegen die sie glm. konvergiert.
Beachte, dass Satz15.10 nicht an den Unstetigkeitsstellen anwendbar
ist (Verletzung der Voraussetzung zur Anwendung des Satzes).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, danke für die Antwort. Ich denke das ist klar nun. Das 1/n könnte man als "Abstand" zwischen den jeweiligen Folgegliedern der Funktionenfolgen ansehen, denke ich. 1/n ist je immer die Verschiebung auf der y-Achse.
Wenn ich nun zeigen möchte, dass [mm] $(f_n)^2$ [/mm] nicht gegen [mm] $f^2$ [/mm] konvergiert, so betrachte ich
[mm] $\lim_{n\to\infty} ||\left(x+\frac{1}{n}\right)^2-x^2||_{\infty}$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty} ||\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}||_{\infty}$
[/mm]
Das dies nicht Null sein kann ist klar. Könnte ich es so zeigen, dass ich x mit n mitlaufen lasse, dann hätte ich
[mm] $||2+\frac{1}{n^2}||_{\infty}=2+\frac{1}{n^2}$ [/mm] und dies konvergiert ja gegen 2.
Es sollte reichen, wenn ich es für einen x-Wert wiederlege. Dann kann die Funktion nicht gleichmäßig konvergieren, da sie ja schon nicht punktweise konvergiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Di 15.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke für die Antwort. Ich denke das ist klar nun.
> Das 1/n könnte man als "Abstand" zwischen den jeweiligen
> Folgegliedern der Funktionenfolgen ansehen, denke ich. 1/n
> ist je immer die Verschiebung auf der y-Achse.
>
> Wenn ich nun zeigen möchte, dass [mm](f_n)^2[/mm] nicht gegen [mm]f^2[/mm]
> konvergiert, so betrachte ich
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} ||\left(x+\frac{1}{n}\right)^2-x^2||_{\infty}[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} ||\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}||_{\infty}[/mm]
>
> Das dies nicht Null sein kann ist klar. Könnte ich es so
> zeigen, dass ich x mit n mitlaufen lasse, dann hätte ich
>
> [mm]||2+\frac{1}{n^2}||_{\infty}=2+\frac{1}{n^2}[/mm] und dies
> konvergiert ja gegen 2.
>
> Es sollte reichen, wenn ich es für einen x-Wert
> wiederlege. Dann kann die Funktion nicht gleichmäßig
> konvergieren, da sie ja schon nicht punktweise konvergiert.
Bei festem n ist [mm] ||\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}||_{\infty}= \infty, [/mm] denn die Funktion
x [mm] \to \frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}
[/mm]
ist auf [mm] \IR [/mm] nicht beschränkt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 15.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das was ich geschrieben habe wäre aber nicht falsch, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Di 15.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Wenn ich nun zeigen möchte, dass $ [mm] (f_n)^2 [/mm] $ nicht gegen $ [mm] f^2 [/mm] $ > konvergiert, so betrachte ich
> $ [mm] \lim_{n\to\infty} ||\left(x+\frac{1}{n}\right)^2-x^2||_{\infty} [/mm] $
> $ [mm] \lim_{n\to\infty} ||\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}||_{\infty} [/mm] $
> Das dies nicht Null sein kann ist klar.
Das ist richtig.
> Könnte ich es so zeigen, dass ich x mit n mitlaufen lasse, dann hätte ich
> $ [mm] ||2+\frac{1}{n^2}||_{\infty}=2+\frac{1}{n^2} [/mm] $ und dies > konvergiert ja gegen 2.
Das ist falsch, weil das schlicht nicht das ist, was die Supremumsnorm bedeutet: $n$ fest und Supremum ueber $x$.
> Es sollte reichen, wenn ich es für einen x-Wert wiederlege. Dann > kann die Funktion nicht gleichmäßig konvergieren, da sie ja > schon nicht punktweise konvergiert.
Das ist falsch aus dem gleichen Grund: Bei punktweiser Konvergenz ist $x$ fest. Im Uebrigen liegt bei [mm] $f_{n}^{2}$ [/mm] punktweise Konvergenz vor!
Ohne Beschraenkung des Definitionsbereches finde ich die Aufgabenstellung etwas zweifelhaft, da ja [mm] $||f_{n}||_{\infty}= \infty$ [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, danke für die Antwort. Ich denke das ist klar nun.
> Das 1/n könnte man als "Abstand" zwischen den jeweiligen
> Folgegliedern der Funktionenfolgen ansehen, denke ich. 1/n
> ist je immer die Verschiebung auf der y-Achse.
>
> Wenn ich nun zeigen möchte, dass [mm](f_n)^2[/mm] nicht gegen [mm]f^2[/mm]
> konvergiert, so betrachte ich
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} ||\left(x+\frac{1}{n}\right)^2-x^2||_{\infty}[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} ||\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}||_{\infty}[/mm]
>
> Das dies nicht Null sein kann ist klar. Könnte ich es so
> zeigen, dass ich x mit n mitlaufen lasse, dann hätte ich
>
> [mm]||2+\frac{1}{n^2}||_{\infty}=2+\frac{1}{n^2}[/mm] und dies
> konvergiert ja gegen 2.
so darfst Du das nicht schreiben (ich meine das "Gesamte" - nicht nur den
letzten Satz: Dass [mm] $2+1/n^2 \to [/mm] 2$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] steht außer Frage!).
Aber man kann mit einer kleinen Änderung einen ähnlichen Gedanken zu
Ende führen:
[mm] $\left\|\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR\right\|_{\infty}$ $\red{\ge}$ $\|2+\tfrac{1}{n^2}\|_\infty$ $\red{\ge}$ $2\,$
[/mm]
liefert
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left\|\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR\right\|_{\infty}$ $\not=0$
[/mm]
(denn falls der Limes linkerhand denn überhaupt existiert [das müssen wir
hier gar nicht kontrollieren, es reicht schon die Annahme], dann wäre er
sicher [mm] $\ge$ [/mm] 2).
P.S.
[mm] $\left\|\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR\right\|_{\infty}$ $=\sup\{|\tfrac{2x}{n}\;+\;\tfrac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR|\}$ $\ge$ $2+1/n^2$ ($=\|2+1/n^2\|_\infty$)
[/mm]
begründet sich wegen
[mm] $2+1/n^2 \in \{|\tfrac{2x}{n}\;+\;\tfrac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR|\}$
[/mm]
(betrachte dazu $x:=n [mm] \in \IN \subseteq \IR$)
[/mm]
und
$2 [mm] \le 2+1/n^2.$
[/mm]
Ich nehme an, dass Du einen ähnlichen Gedanken hattest. Aber man muss
halt das, was man meint, auch richtig aufschreiben (lernen)! Von daher:
Wenn das wirklich in etwa Dein Gedanken war, dann über Dich in Deiner
Kommunikationsfähigkeit. Wenn es nicht Dein Gedanken war, dann schau'
Dir bitte genau die kleinen, aber feinen, Unterschiede an (Analyse der
Methode). In jedem der beiden Fälle wirst Du, denke ich, etwas davon
mitnehmen können, was ich hier noch ergänzt habe.
P.P.S. Du könntest auch
[mm] $2n+1/n^2 \in \{|\tfrac{2x}{n}\;+\;\tfrac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR|\}$
[/mm]
begründen [mm] ($x:=n^2$ [/mm] betrachten) und damit dann
[mm] $\left\|\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR\right\|_{\infty}$ $\ge$ $2n+1/n^2$ $\ge$ $2n\,$
[/mm]
benutzen. Damit wäre sogar
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left\|\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}:\;\; x \in \IR\right\|_{\infty}$ $\,=\,$ $\infty$
[/mm]
klar. (Was man aber in dieser Stärke gar nicht braucht!)
Und noch eine allerletzte Bemerkung: Oben wird nichts anderes als
[mm] $x\,$ $\le$ $\sup [/mm] M$
für (ein jedes) $x [mm] \in [/mm] M$ benutzt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
