Funktionen 3ten Grades < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 08.11.2009 | | Autor: | Acharry |
| Aufgabe | | Hat eine ganz-rationale Funktion 3-ten Grades (1)mindestens eine Wendestelle, (2)höchstens zwei lokale Extrema, (3)mindestens eine Nullstelle und/oder (4)genau drei Nullstellen? |
Ich muss jetzt anhand von Beispielen oder Gesetzmäßigkeiten begründen warum die jeweiligen Aussagen stimmen oder nicht.
Also ich bin soweit:
(4)eine ganzrationale Funktion 3ten Grades hat mindestens eine Nullstelle (die Regel ist halt dass, wenn der der Grad gerade ist die Funktion auch keine Nullstellen haben muss und wenn der Grad ungerade ist dann muss er mindestens 1 NST haben. )
(3)sie muss nicht genau drei NST haben aus dem selben Grund wie (4)
(2)sie kann höchstens 2 lokale Extrema haben, da sie maximal 3 NST hat und bei drei NST sind es zwei lokale Extrema.
(1)sie muss nicht unbedingt eine Wendestelle haben da sie nur 1 NST haben muss und wenn die Funktion nur 1 NST hat hat sie keine Wendestelle.
Ich weiß nicht wie ich das sonst noch begründen kann und ob das überhaupt bei 1 und 2 richtig ist.
wäre sehr dankbar für eure Hilfe
Bitte nur reele Zahlen ohne komplexe Zahlen und möglichst einfache Begründungen damit ich die auch verstehen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 08.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nimm mal eine Funktion 3 Grades.
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Wie du korrekterweise gesagt hast, hat sie mindestens eine Nullstelle nennen wir sie n, also kann man einen Linearfaktor abspalten, also kann man f(x) auch schreiben als:
[mm] f(x)=a(x-n)(ex^{2}+fx+g)
[/mm]
[mm] (ex^{2}+fx+g) [/mm] ist jetzt ja eine Parabel, und da gibt es ja Parabeln mit einer, keiner oder zwei Nullstellen, so dass f(x) jetzt ... hat.
Zu den Extrempunkten:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
Jetzt überlege mal, was die notwendige Bedingung für Extrema war...
Zur Wendestelle:
[mm] f''(x)=6ax^{}+2b
[/mm]
Und wie war das mit den Wendestellen und dem Kriterium dafür?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 08.11.2009 | | Autor: | Acharry |
> Hallo
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> Nimm mal eine Funktion 3 Grades.
>
> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
>
> Wie du korrekterweise gesagt hast, hat sie mindestens eine
> Nullstelle nennen wir sie n, also kann man einen
> Linearfaktor abspalten, also kann man f(x) auch schreiben
> als:
das versteh ich auch nicht so ganz
> [mm]f(x)=a(x-n)(ex^{2}+fx+g)[/mm]
>
> [mm](ex^{2}+fx+g)[/mm] ist jetzt ja eine Parabel, und da gibt es ja
> Parabeln mit einer, keiner oder zwei Nullstellen, so dass
> f(x) jetzt ... hat.
Was hat sie denn ?
> Zu den Extrempunkten:
>
> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c[/mm]
>
> Jetzt überlege mal, was die notwendige Bedingung für
> Extrema war...
[mm] f'(x)=0\wedge f''(x)\not=0 [/mm] (notwendige und hinreichende)
aber was bedeutet das dann, wie viele habe ich denn?
> Zur Wendestelle:
>
> [mm]f''(x)=6ax^{}+2b[/mm]
>
> Und wie war das mit den Wendestellen und dem Kriterium
> dafür?
f''(x)=0 [mm] \wedge f'''(x_{n}) \not=0 [/mm]
und hier auch nochmal das heißt ich habe wie viele wendestellen
> Marius
>
>
Mfg Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich fang noch mal von vorne an
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
1. Nullstellen
Behauptung mindestens eine. Nachweis:
für sehr grosse x kommt es nur noch auf [mm] ax^3 [/mm] an, alle anderen sind kleiner.
für grosse negative x und für grosse positive x hat [mm] ax^3 [/mm] entgegengesetztes Vorzeichen, muss also irgenwo das Vorzeichen wechseln hat also mindestens eine Nst.
sie muss nicht mehr haben, denn wenn z bsp b=c=d=e=0 hat sie nur eine.
Sie kann 3 haben, denn (x-m)*(x-n)*(x-p) ist ein Pol. dritten Grades und hat die drei Nst m,n,p
Sie kann auch 2Nst haben denn etwa [mm] (x-m)*(x-n)^2 [/mm] hat die 2 Nst m und n
Extremwerte:
[mm] f'=3ax^2+2bx+c [/mm] ist ne Parabel, die kann keine 2 oder eine Nullstelle haben nie drei . wenn sie 0 hat kein Extremwert, wenn sie 2 hat 2 Extremwerte, wenn si eine Hat, dnn ist da f''=0 also kein Extremwert.
Wendepunkte f''=0 6ax+2b=0 gibt es immer ein x, das man daraus bestimmen kann? ja! und f'''=6a ist immer ungleich 0.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 So 08.11.2009 | | Autor: | Acharry |
danke an euch beide
ich war mir vorhin bei dem artikel nicht sicher, jetzt habe ich es aber glaube ich verstanden.
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