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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mo 03.11.2008 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | Wo sind die folgenden Funktionen definiert, stetig, monoton, umkehrbar?
a.) [mm] f(x)=\begin{cases} x-2 ... x\le-2\\ 1 ... -2
b.) [mm] f(x)=\begin{cases}\wurzel{|x|}+\bruch{1}{\wurzel{|x|}} ... x\not=0 \\ 0 ... x = 0\end{cases} [/mm] |
Ich verstehe die Angabe nicht ganz, aber vermute, ich muss der Reihe nach erläutern ob folgende Kriterien zutreffen oder nicht zutreffen:
- definiert
- stetig
- monoton
- umkehrbar
auf die schnelle würde ich sagen:
[mm] \wurzel{|x|}+\bruch{1}{\wurzel{|x|}} [/mm] ist auf jeden Fall umkehrbar
0 ist stetig, monoton, aber nicht umkehrbar
-x + 2 ist stetig und monoton und umkehrbar
x-2 ist die eben die Umkehrfunktion somit auch stetig und monoton und umkehrbar
1 ist stetig, monoton, aber nicht umkehrbar
So würde ich das begründen. Bin ich auf dem richtigen Weg?
Vielen Dank für jegliche Rückmeldungen!!!!
Lg
Martin
Erst-Poster Satz:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst das nicht auf die Schnelle sagen, sondern begruenden, auch wenn es richtig ist. Ist die Umkehrfkt. eindeutig?
bei a) ist natuerlich die ganze fkt gemeint. nicht nur Stuecke.
ebenso bei b) wo ja f(0) einzeln definiert ist.
und bisher hast du nur was ueber Umkehrbarkeit gesagt,ueber Stetigkeit, Monotonie noch nichts!
Natuerlich kann man auch die Intervalle angeben, auf denen die fkt umkehrbar ist.oder monoton oder stetig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 03.11.2008 | | Autor: | martin7 |
Danke für die Antwort erstmal.
somit könnte bei x-2 durch
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow\ - infty}
[/mm]
zeigen, dass die Funktion monoton ist ???
durch die Ableitung
f(x)=x-2
f'(x)=1
--> Steigung 1 deshalb stetig ???
Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend ist (analog wenn f im gesamten ID streng monoton fallend ist)
--> deshalb ist diese Funktion umkehrbar ???
kann ich so begründen?
Lg
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mo 03.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für die Antwort erstmal.
>
> somit könnte bei x-2 durch
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
> und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ - infty}[/mm]
>
> zeigen, dass die Funktion monoton ist ???
Warum willst du hier den Grenzwert betrachten?
>
> durch die Ableitung
> f(x)=x-2
> f'(x)=1
> --> Steigung 1 deshalb stetig ???
Yep, aber wenn eine Funktion monoton ist, impliziert das auch Stetigkeit.
Denn f ist Monoton [mm] \Rightarrow [/mm] f ist differenzierbar (zumindest einmal) [mm] \Rightarrow [/mm] f ist stetig.
Die Umkehrung gilt aber nicht, da nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist.
>
> Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie in ihrem
> gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend ist
> (analog wenn f im gesamten ID streng monoton fallend ist)
> --> deshalb ist diese Funktion umkehrbar ???
Das ist korrekt so.
>
> kann ich so begründen?
>
Kannst du
> Lg
> Martin
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mo 03.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal, du kannst uer deine betrachtung nicht nur ein Stueck der fkt betrachten, die ist fuer ALLE x definiert. du betrachtest nur das intervall [mm] (-\infty,-2) [/mm] und es eist wirklich keine wirkliche aufgabe, zu zeigen, dass ne lineare fkt in ihrem definitionsbereich stetig und monoton ist, dazu braucht man auch keine Ableitung.
Was du da also machst ist sehr wenig. und dass du x gegen [mm] +\infty [/mm] hinschreibst sagt , dass du das prinzip einer stueckweise definierten fkt anscheinend nicht verstanden hast.
die aufgabe a0 ist EINE fkt. die einzelnen Stuecke sind dabei ohne grosse diskussion stetig. interessant also nur die "Ansetzstellen".
Gruss leduart
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