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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 30.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi Bastiane
> Hallo!
> Hab' hier gerade eine Definition, die ich nicht so ganz
> verstehe:
>
> Es bezeichne [mm]S(\IR^{n})[/mm] den Vektorraum aller Funktionen
> [mm]f\in C^{\infty}(\IR^n)[/mm] mit folgender Eigenschaft:
> [mm]\sup_{x\in\IR^n}|x^{\beta}D^{\alpha}f(x)|<\infty \;\forall \alpha, \beta\in\IN^n.
[/mm]
>
>
> Auf gut Deutsch: Die Elemente in [mm]S(\IR^n)[/mm] sind gerade die
> glatten Funktionen, die, zusammen mit ihren Ableitungen,
> schneller als jedes Polynom im Unendlichen abfallen.
>
> Diese "Auf-gut-Deutsch-Erklärung" hilft mir leider nicht
> wirklich weiter: wo steht in der Definition etwas von
> glatten Funktionen und wo ist da ein Polynom?
in der definition sind die beiden angaben etwas versteckt: das glatte zeigt sich an der stelle, wo [m] f \in C^\infty(\mathbb{R}^n) [/m] gefordert wird, also die beliebig-häufige differenzierbarkeit. etwas glatteres gibt es im prinzip ja gar nicht.
die polynome treten auf in der forderung: [mm]\sup_{x\in\IR^n}|x^{\beta}D^{\alpha}f(x)|<\infty \;\forall \alpha, \beta\in\IN^n.
[/mm] diese [m] x^\beta [/m] sind monome. die forderung ist aber natürlich äquivalent, wenn du an dieser stelle beliebige polynome einsetzt. die forderung bedeutet im prinzip, dass die funktion $f$ und alle ihre ableitungen alle polynome noch so hohen grades mit "nach unten zieht", also sind funktionen der form [m] f(x) := \frac{1}{x^k} [/m] ( EDIT: hier war mit [m] n [/m] nicht die dimension des [m] \mathbb{R}^n [/m] gemeint, sondern das sollte einfach eine beliebige natürliche zahl sein. andererseits ist das beispiel von mir selten dämlich gewählt, da diese funktion ja nichtmal stetig ist! - siehe späteren post) bestimmt nicht in [m] S(\mathbb{R}) [/m], da dann die forderung [m] \sup |x^\beta f(x) | < \infty [/m] schon für [m] \beta := n + 1 [/m] nicht mehr erfüllt ist, da die funktion [m] | x^\beta f(x)| [/m] für [m] x \to \pm \infty [/m] über alle grenzen wächst
da ich jetzt leider weg muss nur noch kurz ein beispiel für eine funktion [m] f \in S(\mathbb{R}) [/m]:
[m]f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \; f(x) := e^{-x^2} [/m]
ich hoffe die erklärung war trotzdem sie etwas kurz ausgefallen ist hilfreich. wenn irgendwas unbeantwortet ist kannst du ja nochmal nachfragen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 30.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Andreas!
> > Es bezeichne [mm]S(\IR^{n})[/mm] den Vektorraum aller Funktionen
>
> > [mm]f\in C^{\infty}(\IR^n)[/mm] mit folgender Eigenschaft:
> > [mm]\sup_{x\in\IR^n}|x^{\beta}D^{\alpha}f(x)|<\infty \;\forall \alpha, \beta\in\IN^n.
[/mm]
>
> >
> >
> > Auf gut Deutsch: Die Elemente in [mm]S(\IR^n)[/mm] sind gerade die
>
> > glatten Funktionen, die, zusammen mit ihren Ableitungen,
>
> > schneller als jedes Polynom im Unendlichen abfallen.
> in der definition sind die beiden angaben etwas versteckt:
> das glatte zeigt sich an der stelle, wo [m]f \in C^\infty(\mathbb{R}^n)[/m]
> gefordert wird, also die beliebig-häufige
> differenzierbarkeit. etwas glatteres gibt es im prinzip ja
> gar nicht.
Wenn man eine Funktion unendlich oft differenziert, erhält man doch eine Konstante, oder? Und die ist dann eben einfach glatt!?!
> die polynome treten auf in der forderung:
> [mm]\sup_{x\in\IR^n}|x^{\beta}D^{\alpha}f(x)|<\infty \;\forall \alpha, \beta\in\IN^n.
[/mm]
> diese [m]x^\beta[/m] sind monome. die forderung ist aber natürlich
> äquivalent, wenn du an dieser stelle beliebige polynome
> einsetzt. die forderung bedeutet im prinzip, dass die
> funktion [mm]f[/mm] und alle ihre ableitungen alle polynome noch so
> hohen grades mit "nach unten zieht", also sind funktionen
> der form [m]f(x) := \frac{1}{x^n}[/m] bestimmt nicht in
> [m]S(\mathbb{R} [/m], da dann die forderung [m]\sup |x^\beta f(x) | < \infty[/m]
> schon für [m]\beta := n + 1[/m] nicht mehr erfüllt ist, da die
> funktion [m]| x^\beta f(x)|[/m] für [m]x \to \pm \infty[/m] über alle
> grenzen wächst
>
>
> da ich jetzt leider weg muss nur noch kurz ein beispiel für
> eine funktion [m]f \in S(\mathbb{R}) [/m]:
>
> [m]f(x) := e^{-x^2}[/m]
Mmh, aber wie in dem obigen "Gegenbeispiel" würde doch auch hier für [mm] \beta:=n+1\;\;\; x^{\beta} [/mm] für [mm] x\to\infty [/mm] schon ins Unendliche wachsen, oder? Oder wird das dann eben genau mit dieser Funktion f wieder ins Endliche zurückgeholt? Ob du mir das vielleicht an genau diesem Beispiel noch etwas genauer erklären könntest?
Außerdem ist ja auch noch [mm] \beta\in\IN^n [/mm] - was hat das denn genau zu bedeuten? Was wäre denn ein Vektor x hoch ein Vektor [mm] \beta?
[/mm]
> ich hoffe die erklärung war trotzdem sie etwas kurz
> ausgefallen ist hilfreich. wenn irgendwas unbeantwortet ist
> kannst du ja nochmal nachfragen.
Ja, klar - kein Problem! Allzu lange Erklärungen schrecken mich immer erstmal ab - die lasse ich dann erstmal ein paar Tage ungelesen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi Bastiane,
1.) differenziere doch mal für den Spezialfall [mm]n=1: f(x):=e^{-x}[/mm] beliebig oft (d.h. bis Du keine Lust mehr hast, weil's langweilig ist). Das will einfach nicht konstant werden.
2.) die Exponentialfunktion wächst schneller, als jedes Polynom. Also fällt der Kehrwert der Exponentialfunktion in diesem Beispiel schneller gegen 0, als jedes Polynom gegen [mm]\infty[/mm] wachsen kann.
2.a) Ich vermute, dass "Vektor hoch Vektor" als Vektor mit den Komponenten [mm]x_{i}^{\beta_{i}}, 1 \le i \le n [/mm] zu verstehen ist.
3.) Ich hoffe, ich habe mich hinreichend kurz aber notwendig ausfühlich geäußert 
Viel Spass noch,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Do 30.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Peter!
> 1.) differenziere doch mal für den Spezialfall [mm]n=1: f(x):=e^{-x}[/mm]
> beliebig oft (d.h. bis Du keine Lust mehr hast, weil's
> langweilig ist). Das will einfach nicht konstant werden.
Ja, du hast Recht! Ich hatte nur an Polynome gedacht - da ist das doch so, oder?
Und was bedeutet dann jetzt bei dieser Funktion die Glattheit? Warum ist die Funktion glatt (Andreas meinte doch: etwas glatteres gibt es nicht)?
> 2.) die Exponentialfunktion wächst schneller, als jedes
> Polynom. Also fällt der Kehrwert der Exponentialfunktion in
> diesem Beispiel schneller gegen 0, als jedes Polynom gegen
> [mm]\infty[/mm] wachsen kann.
Und damit ist auch das Produkt von Polynom und e-Funktion [mm] <\infty!?
[/mm]
> 2.a) Ich vermute, dass "Vektor hoch Vektor" als Vektor mit
> den Komponenten [mm]x_{i}^{\beta_{i}}, 1 \le i \le n[/mm] zu
> verstehen ist.
Aha - tatsächlich? Komisch, dass ich mir darüber noch nie Gedanken gemacht hatte...
> 3.) Ich hoffe, ich habe mich hinreichend kurz aber
> notwendig ausfühlich geäußert
Joah, ich denke schon - danke!
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Do 30.12.2004 | | Autor: | Peter_Pein |
Guten Abend Bastiane,
1.) jo, Polynome n-ten Grades [mm]a_{n} x^{n}+...[/mm] werden nach der n-ten Ableitung offenbar zu [mm]a_{n}n![/mm] und nach einer weiteren Ableitung sind sie völlig verdampft
1.a) Glattheit heißt, - wenn ich mich recht erinnere - dass sich die Steigung einer Funktion nur stetig ändert. Sozusagen absolut unglatt ist z.B. [mm]f(x):=|x][/mm] an der Stelle [mm]x=0[/mm], denn [mm]f'(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x >0 \\ undef., & \mbox{ für } x=0 \end{cases}[/mm] ist ja sowas von unstetig...
2.) ja, weil der Exponent < 0 ist.
zu 2.a) war das jetzt sarkastisch von Dir gemeint?
Gut's Nächtle,
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Fr 31.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
wenn ich mir sowas veranschaulichen will, wähle ich ich im allgemeinen [m] n = 1[/m], also betrachte hier [m] S(\mathbb{R}) [/m] und darauf beziehen sich meine beispiele im allgemeinen auch, da ich mit der mehrdimensionalen analysis nach wie vor etwas auf kriegsfuss stehe!
hier noch ein paar anmerkungen zu deinen fragen:
> > die polynome treten auf in der forderung:
> > [mm]\sup_{x\in\IR^n}|x^{\beta}D^{\alpha}f(x)|<\infty \;\forall \alpha, \beta\in\IN^n.
[/mm]
>
> > diese [m]x^\beta[/m] sind monome. die forderung ist aber
> natürlich
> > äquivalent, wenn du an dieser stelle beliebige polynome
>
> > einsetzt. die forderung bedeutet im prinzip, dass die
> > funktion [mm]f[/mm] und alle ihre ableitungen alle polynome noch
> so
> > hohen grades mit "nach unten zieht", also sind funktionen
>
> > der form [m]f(x) := \frac{1}{x^n}[/m] bestimmt nicht in
> > [m]S(\mathbb{R} [/m], da dann die forderung [m]\sup |x^\beta f(x) | < \infty[/m]
>
> > schon für [m]\beta := n + 1[/m] nicht mehr erfüllt ist, da die
>
> > funktion [m]| x^\beta f(x)|[/m] für [m]x \to \pm \infty[/m] über alle
>
> > grenzen wächst
wie in meinem ursprünglichen post schon geändert, war das [m] n [/m] hier nur sehr unglücklich gewählt, es sollte bestimmt nichts mit der dimesion der [m] \mathbb{R}^n [/m] zu tun haben und die funktion war auch unabhängig davon recht unglücklich gewählt, da sie nicht mal stetig ist. angebrachter wäre hier sowas wie [m] f(x) = \frac{1}{(x^2 + x + 1)^k} [/m], also eine funktion, bei der die "nenner-funktion" keine nullstelle in [m]\mathbb{R} [/m] besitzt! aber auch hier gilt, dass [m] f(x) x^{2k + 1} [/m] über alle grenzen wächst, da dann das "zähler-polynom" einen höheren grad hat als das "nenner-polynom". ich wollte damit eigentlich nur ausdrücken, dass es nicht allzu einfach ist eine "handliche" funktion in [m] S(\mathbb{R})[/m] zu finden, da die meisten funktionen "zu schwach" gegen $0$ konvergiern, dass also polynome diese konvergenz schon zerstören können!
> >
> > da ich jetzt leider weg muss nur noch kurz ein beispiel
> für
> > eine funktion [m]f \in S(\mathbb{R}) [/m]:
> >
> > [m]f(x) := e^{-x^2}[/m]
>
> Mmh, aber wie in dem obigen "Gegenbeispiel" würde doch auch
> hier für [mm]\beta:=n+1\;\;\; x^{\beta}[/mm] für [mm]x\to\infty[/mm] schon
> ins Unendliche wachsen, oder? Oder wird das dann eben genau
> mit dieser Funktion f wieder ins Endliche zurückgeholt?
genau das ist der fall!
wenn du für ein beliebiges [m]\beta := k \in \mathbb{N} [/m] die funktion [m] g(x) = f(x) x^\beta = e^{-x^2} x^k = \frac{x^k}{e^{x^2}} [/m] betrachtest, so siehst du mit den regeln von de l'hôspital, dass dies für [m]x \to \pm \infty [/m] gegen $0$ geht, da hier eine "unbestimmtheit" vom typ [m] \frac{\infty}{\infty} [/m] vorilegt. dies kann man bestimmt durchrechnen oder mit induktion zeigen, aber danach ist mir gerade bestimmt nicht (du könntets es ja mal für ein paar bestimmte [m] k \in \mathbb{N} [/m] durchprobieren, wenn dir das nicht klar ist). in prinzip liegt es aber ganua daran, was Peter_Pein gestagt hat, nämlich, dass die exponential-funktion "schneller" wächst als jedes polynom.
> Außerdem ist ja auch noch [mm]\beta\in\IN^n[/mm] - was hat das denn
> genau zu bedeuten? Was wäre denn ein Vektor x hoch ein
> Vektor [mm]\beta?
[/mm]
wie Peter_Pein schon geschrieben hat ist für [m] x = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_ 2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \in \mathbb{R}^n [/m] und [m] \beta = \left( \begin{array}{c} \beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \end{array} \right) \in \mathbb{N}_0^n [/m] die potenz [m] x^\beta [/m] definiert als
[m] x^\beta := x_1^{\beta_1} \cdot x_2^{\beta_2} \cdot \hdots \cdot x_n^{\beta_n} \in \mathbb{R} [/m]
(also wird dies insbesondere zu einem skalar).
wenn noch fragen aufkommen hoffe ich diese etwas kompetenter beantworten zu können.
grüße
andreas
ps das zu [m] f\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}; \; x \longmapsto e^{-x^2} [/m] gehörende analogogon ist [m] g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} ; \; x \longmapsto e^{- \left< x, x \right>} = e^{-(x_1^2 + x_2^2 + \hdots + x_n^2)} [/m] - falls dich das interessiert.
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
und natürlich einen guten Rutsch
