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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 06.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
| Aufgabe | Sind die Folgenden Zuordnungen Funktionen?
a) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] +, x [mm] \to x^{2}
[/mm]
b) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \to \wurzel{x}
[/mm]
c) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \to [/mm] x
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Hallo zusammen und guten Abend!
Ich hoff hier jemanden zu finden, der mir eventuell etwas "übersetzen" kann ;)
Also meiner Meinung nach wäre a) eine Funktionen, ich hätte allerdings keine Begründung.
b) bin ich mir nicht sicher, rein vom Gefühl her, auch eine Funktion
c) denke ich, dass es keine Funktion ist.
Aber das wäre eher geraten als gewusst. ;)
Ich bedanke mich schon mal im Voraus.
Schönen Abend noch.
LG Aeryn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Di 06.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Aeryn,
wie habt ihr denn den Begriff "Funktion" definiert? Daran musst du dich orientieren. Wenn ihr es gemacht habt, wie es üblich ist (siehe zum Beispiel in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia), dann musst du schauen, ob deine Kandidaten a),b),c) JEDEM Element der Definitonsmenge GENAU EIN (nicht mehr, nicht weniger) Element in der Zielmenge zuordnen.
Nochmal mit anderen Worten:Es ist kommt darauf an, ob jedem x-Wert der Def.Menge eindeutig ein Wert zugeordnet werden kann, der innerhalb der Zielmenge liegt.
Falls du nicht weisst, was Definitionsmenge und Zielmenge sind, das steht bei deinen (möchtegern) Funktionen vorne dran. z.B. [mm] \IR\to\IR+ [/mm] heisst, Definitionsmenge ganz [mm] \IR [/mm] und Zielmenge die positiven reellen Zahlen.
Also, kannst du jetzt nochmal einen Tipp (mit Begründung) abgeben  , du hattest vorher einmal recht und 2 mal falsch gelegen.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hi!
Ich habe nun folgende Definition, wenn man so will, gefunden:
Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Definitionsbereich D ist eine Regel, die jeder Zahl x in D eine eindeutige reelle Zahl f(x) zuordnet.
Ich glaub ich sehe da einen weit entfernten Erkenntnisschimmer.
aber DER Geistesblitz war es noch nicht. Vorallem die X sind mir noch eher ein Rätsel
a) Dh also das [mm] \IR [/mm] ist der Definitionsbereich (alle reellen Zahlen) , [mm] \IR+ [/mm] (alle positiven reellen Zahlen) ist der Wertebereich, und jedem x kann ein [mm] x^{2} [/mm] zugeordnet werden.
Also wäre es eine Funktion, da man jedem x ein [mm] x^{2} [/mm] zugeordnet werden kann.
Aber was ist mit den negativen reellen Zahlen?
b) Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen, Wertebereich sind auch alle reellen Zahlen, dies wär auch eine Funktion, denn jedem x wird eine [mm] \wurzel{x} [/mm] zugeordnet.
c) wäre aber keine Funktion, weil ich kann nicht jedem x noch ein x zuordnen.
Bin ich auf dem richtigen weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Aeryn,
> Hi!
>
> Ich habe nun folgende Definition, wenn man so will,
> gefunden:
>
> Eine Funktion einer reellen Variablen x mit
> Definitionsbereich D ist eine Regel, die jeder Zahl x in D
> eine eindeutige reelle Zahl f(x) zuordnet.
Ja, das deckt sich mit der, die ich oben angegeben hatte. Die wichtigen Punkte sind: "Jeder Zahl x in D" und " eine eindeutige Zahl "
>
> Ich glaub ich sehe da einen weit entfernten
> Erkenntnisschimmer.
> aber DER Geistesblitz war es noch nicht. Vorallem die X
> sind mir noch eher ein Rätsel
>
> a) Dh also das [mm]\IR[/mm] ist der Definitionsbereich (alle reellen
> Zahlen) , [mm]\IR+[/mm] (alle positiven reellen Zahlen) ist der
> Wertebereich, und jedem x kann ein [mm]x^{2}[/mm] zugeordnet werden.
> Also wäre es eine Funktion, da man jedem x ein [mm]x^{2}[/mm]
> zugeordnet werden kann.
Genau, du gibst mir ein x, ich gebe dir [mm] x^2, [/mm]
z:b.
[mm] 0\mapsto 0^2=0
[/mm]
[mm] 1\mapsto 1^2=1
[/mm]
[mm] 1,5\mapsto 1,5^2=2,25
[/mm]
[mm] 2\mapsto 2^2=4
[/mm]
Das waren nur ein paar Beispiele.
> Aber was ist mit den negativen reellen Zahlen?
Kein Problem:
-1 [mm] \mapsto (-1)^2=1
[/mm]
-2 [mm] \mapsto (-2)^2=4
[/mm]
Ich kann jeder Zahl genau eine andere zuordnen. Ich weiss immer was ich mit dem x machen muss, immer mit sich selbst multiplizieren, es gibt keine Uneindeutigkeiten.
Das ist eine Funktion.
>
> b) Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen,
> Wertebereich sind auch alle reellen Zahlen, dies wär auch
> eine Funktion, denn jedem x wird eine [mm]\wurzel{x}[/mm]
> zugeordnet.
Da gibts allerdings ein Problem. Die Wurzel kann man aus negativen Zahlen nicht ziehen. Es gibt also Zahlen im Definitionsbereich (nämlich die negativen), mit denen ich nix machen kann. Aber damit es als Funktion durchgeht, muss ich mit ALLEN Zahlen aus D was machen können. Also keine Funktion.
>
> c) wäre aber keine Funktion, weil ich kann nicht jedem x
> noch ein x zuordnen.
Na, klar. Ich ordne einem x wieder x zu.
[mm] -2\mapsto [/mm] -2
[mm] -1\mapsto [/mm] -1
[mm] 0\mapsto [/mm] 0
[mm] 1,2\mapsto [/mm] 1,2
usw.
Ist ne Funktion.
>
> Bin ich auf dem richtigen weg?
Du warst es noch nicht ganz. Bist du's jetzt?
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Manabago |
Hi ihr! Hab noch eine kleine Ergänzung: Du musst bei b den Definitions- und Zielbereich nur abändern, damit es eine Funktion ist: [mm] \IR+\to\IR+, x\to\wurzel{x}. [/mm] Dann ist es ok. Ein kleiner Tipp. Stell dir Definitions- und Zielbereich als 2 Töpfe (A und B) vor, die möglicherweise verschiedene Elemente (Zahlen) enthalten. Und jetzt wird jedem Element aus Topf A GENAU 1 Element aus dem Topf B zugeordnet. Eine Funktion ist also nichts anderes als eine Zuordnungsvorschrift mit oben genannten Bedingungen.
Eine Gegenbeispiel wäre also zB der Kreis. Eine Funktion kann NIEMALS einen Kreis darstellen. Stell dir einen Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1 vor. Dann wären ja zB der 0 die 1 und die -1 zugeordnet. Das darf nicht sein.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:49 Do 08.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Dh. heisst also ich muss schauen, wie der Definitionsbereich gegeben ist und der Wertebereich, und ob sich die x damit decken?!
Der Definitionsbereich und der Wertebereich müssen sich auch decken, damit meine ich zb bei b)
Da kann ich nicht [mm] \IR \to \IR+, [/mm] x [mm] \to \wurzel{x}, [/mm] als Funktion definieren, da der Definitionsbereich ALLE reellen Zahlen beinhaltet, und wie du gesagt hast, man keine negativen Zahlen aus einer Wurzel ziehen kann.
Sprich: so wie Manabago es aufgeschrieben hab, Definitionsbereich und Wertebereich als positive reelle Zahlen.
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Hallo,
so wie b) formuliert ist, ist es keine Funktion, da keine Einschränkung für den Definitionsbereich vorgegeben wurde,
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 08.03.2007 | | Autor: | Walde |
> Dh. heisst also ich muss schauen, wie der
> Definitionsbereich gegeben ist und der Wertebereich, und ob
> sich die x damit decken?!
Ich weiss nicht genau, was du mit decken meinst.
>
> Der Definitionsbereich und der Wertebereich müssen sich
> auch decken, damit meine ich zb bei b)
Der D und W müssen nicht gleich sein.
>
> Da kann ich nicht [mm]\IR \to \IR+,[/mm] x [mm]\to \wurzel{x},[/mm] als
> Funktion definieren, da der Definitionsbereich ALLE reellen
> Zahlen beinhaltet, und wie du gesagt hast, man keine
> negativen Zahlen aus einer Wurzel ziehen kann.
Ja, das stimmt.
>
> Sprich: so wie Manabago es aufgeschrieben hab,
> Definitionsbereich und Wertebereich als positive reelle
> Zahlen.
Der Wertebereich darf auch grösser sein als das,was rauskommen kann.Man dürfte auch ganz [mm] \IR [/mm] nehmen.
>
>
Ich greife nochmal die Erklärung von Manabago auf:
So eine Funktion, ist wie eine kleine Maschine, in der du links was reinsteckst (das du aus dem Definitionstopf genommen hast) und rechts was rauskommt (das du in den Wertebereichtopf legst). Es sind folgende Dinge wichtig:
Du musst mit [mm] \red{allen} [/mm] x-en aus D was anfangen können.(bei b) kannst du das nicht)
Es am Ende darf (pro x ) nur [mm] \red{genau} [/mm] ein Endergebnis rauskommen (das war bei den angegebenen bis jetzt nie das Problem). Dabei ist es egal, wenn für verschiedene x dasselbe rauskommt, das darf passieren.(z:b. wie bei a)
Das was rauskommt, muss auch in den Wertebereichtopf passen. Damit meine ich z.B:
[mm] D=\IR, W=\IR^-, x\mapsto x^2 [/mm] ist keine Funktion, da zwar nur positive Werte entstehen können, aber der Wertebereich nur neg. Zahlen enthält. Man müsste W abändern z:b: auf [mm] W=\IR, [/mm] denn da sind alle Zahlen erlaubt. [mm] W=\IR+ [/mm] würde auch genügen.
Nochmal zu Wiederholung:
Wenn man bei b) [mm] D=\IR [/mm] auf [mm] D=\IR+ [/mm] abändert, dann ist es auch eine Funktion.
weiteres Beispiel:
[mm] \IR\to\IR, x\mapsto\bruch{1}{x} [/mm] ist keine Funktion, da ich mit x=0 nichts anfangen kann, denn man darf ja nicht durch Null teilen. Wenn ich aber den Def.bereich auf [mm] D=\IR-\{0\} [/mm] abändere (also alle Zahlen ausser der Null), dann ist wieder alles in Butter.
Frage für dich: Welche Zahlen muss, ich im Definitionsbereich folgender Abbildungen aussschliessen, damit es Funktionen werden?
[mm] x\mapsto\bruch{1}{(x-2)(x+3)} [/mm]
[mm] x\mapsto\wurzel{x-2}
[/mm]
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 08.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hallo Walde,
danke für deine Bemühungen mir dieses Thema näher zu bringen.
Das beispiel mit [mm] \IR\to\IR, x\mapsto\bruch{1}{x}, [/mm] hast du gemeint ist dann eine funktion wenn: [mm] D=\IR-\{0\} [/mm] ist, aber muss dann [mm] \IR- [/mm] sein oder kann ich auch [mm] \IR [/mm] angeben?
Zu deinen Aufgabenstellungen:
beim ersten hätt ich gesagt: +/- 2 wird ausgenommen.
und beim zweiten würde ich 2 sagen, denn wenn ich es ausrechne würde [mm] \wurzel{0} [/mm] rauskommen bzw. error.
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Hi nochmal!
Sei f:$ [mm] \IR\to\IR, x\mapsto\bruch{1}{x}, [/mm] $, dann musst du im Definitionsbereich natürlich nur die 0 ausschließen, sonst kannst du ja JEDE reelle Zahl (ich beschränk mich mit meinen Ausführungen jetzt mal auf [mm] \IR) [/mm] in die Funktion problemlos reinstecken.
Zu Waldes Beispielen:
Zuerst einmal deine Antworten sind beide falsch. Daher gebe ich dir noch eine kurze Vorinformation, nämlich die wichtigsten 3 Beispiele, wo du auf die Definitionsmenge aufpassen musst.
1) rationale Funktionen (Bruch)
2) Wurzelfunktionen
3) Logarithmusfunktionen
ad 1) Der Nenner darf NIE 0 werden.
ad 2) Der Ausdruck unter der Wurzel MUSS [mm] \ge [/mm] 0 sein. [mm] \wurzel{0}=0 [/mm]
ad 3) Der Ausdruck unter der Wurzel MUSS > 0 sein.
So und jetzt versuch Waldes Beispiele nochmal, :).
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Do 08.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Hi!
Also wie du gesagt hast, der Nenner darf nicht 0 sein
dh. wenn ich beim ersten bei spiel 2 oder -3 einsetze würde im nenner 0 rauskommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 08.03.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
du hast recht. Wenn du im Nenner 2 oder -3 einsetzen würdest, würde entweder die erste Klammer 0 werden oder die zweite Klammer. Dies würde aber bedeuten, das der Nenner 0 wird und das ist ja nicht erlaubt.
Das zweite Beispiel ist auch nicht schwer. Überleg einfach mal, welche Voraussetzung der Ausdruck unter der Wurzel erfüllen muß.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Do 08.03.2007 | | Autor: | Aeryn |
Wie Mana geschrieben hat:
Ausdruck MUSS [mm] \ge [/mm] 0sein. x darf zum beispiel nicht 1 sein.
dh zu frage 1 wäre der ausgenommene bereich 2 und -3?
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Die erste Lösung ist richtig.
Zur Wurzelfunktion: Der GANZE Ausdruck unter der Wurzel muss [mm] \ge [/mm] 0 sein. Das heißt x-2 [mm] \ge [/mm] 0. Und diese Ungleichung musst du jetzt lösen. Logischerweise ist die Lösung dann deine Definitionsmenge. Also, welche x erfüllen diese Ungleichung?
Ein weiteres Beispiel wäre die Funktion [mm] h(x)=\bruch{a^2}{\wurzel{sin(x)cos(x)}} [/mm] mit a [mm] \in \IR. [/mm] Wie sieht hier der Definitionsbereich aus?
Lg Manuel
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