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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die durch
f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] definierte Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig, aber in keinem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] differenzierbar ist. |
Hallo,
zur Stetigkeit:
Es gilt [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx [/mm] - [mm] sin2^nx_0)| [/mm]
Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] finden.
Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier weiterzukommen.
Zur Differenzierbarkeit:
durch die h-Methode folgt:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \limes_{h\rightarrow0}((\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h})
[/mm]
Auch hier weiß ich gerade nicht wie ich weitermachen soll.
Kann mir hier jemand helfen?
Viele Grüße
Anil
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> Zeigen Sie, dass die durch
> f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}[/mm]
> definierte Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig,
> aber in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist.
> Hallo,
>
> zur Stetigkeit:
>
> Es gilt [mm]|f(x)-f(x_0)|\ =\ |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx\ -\ sin2^nx_0)|[/mm]
>
> Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
> finden.
> Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch
> die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier
> weiterzukommen.
Hallo Anil
ein Tipp zum Beweis der Stetigkeit:
Zerlege die Reihe in eine endliche Summe und eine Restreihe:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}.......\ [/mm] \ =\ \ [mm] \underbrace{\summe_{n=1}^{N}.......}_{S(N)}\ [/mm] \ +\ [mm] \underbrace{\summe_{n=N+1}^{\infty}.......} [/mm] _{R(N)}$
und zeige dann, dass S(N) für jedes [mm] N\in\IN [/mm] stetig ist und dass
[mm] $\limes_{N\to\infty}R(N)\ [/mm] =\ 0$
ist und dass man aus beidem zusammen auf die Stetigkeit der
gesamten Funktion f schließen kann.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> > Zeigen Sie, dass die durch
> > f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}[/mm]
> > definierte Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig,
> > aber in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist.
> > Hallo,
> >
> > zur Stetigkeit:
> >
> > Es gilt [mm]|f(x)-f(x_0)|\ =\ |\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx\ -\ sin2^nx_0)|[/mm]
> >
> > Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
> > finden.
> > Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch
> > die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier
> > weiterzukommen.
>
>
> Hallo Anil
>
> ein Tipp zum Beweis der Stetigkeit:
>
> Zerlege die Reihe in eine endliche Summe und eine
> Restreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}.......\ \ =\ \ \underbrace{\summe_{n=1}^{N}.......}_{S(N)}\ \ +\ \underbrace{\summe_{n=N+1}^{\infty}.......} _{R(N)}[/mm]
>
> und zeige dann, dass S(N) für jedes [mm]N\in\IN[/mm] stetig ist
> und dass
>
> [mm]\limes_{N\to\infty}R(N)\ =\ 0[/mm]
>
> ist und dass man aus beidem zusammen auf die Stetigkeit
> der
> gesamten Funktion f schließen kann.
Hallo Al,
das ist aber nur richtig, wenn die vorgelegte Funktionenreihe auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Das tut sie ! Aber dann bekommt man die Stetigkeit einfacher (s. meine Antwort).
Gruß FRED
>
> LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die durch
> f(x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}[/mm]
> definierte Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig,
> aber in keinem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] differenzierbar ist.
> Hallo,
>
> zur Stetigkeit:
>
> Es gilt [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm] =
> [mm]|\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^n}{3^n}(sin2^nx[/mm] -
> [mm]sin2^nx_0)|[/mm]
>
> Nun sollte ich ja ein geeignetes [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm]
> finden.
Uii , uii , ich glaube Du bist mit dem Stetigkeitsbegriff ein wenig auf Kriegsfuß.
zu vorgegebenem [mm]\varepsilon >0[/mm] muss ein [mm] \delta [/mm] >0 gefunden werden mit: blablablubber...
Wie lautet denn blablablubber ?
> Kann mir dabei jemand einen Tipp geben? Vor allem durch
> die unendliche Reihe fällt es mir schwer hier
> weiterzukommen.
Es geht ohne [mm]\delta[/mm] und [mm]\varepsilon[/mm] ....
Die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] $ konvergiert auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig, denn
[mm] $|\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] | [mm] \le (\bruch{2}{3})^n [/mm] $ für alle n und alle x.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{2}{3})^n [/mm] ist konvergent.
Nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium ist dann $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n} [/mm] $ auf [mm] \IR [/mm] glm. konvergent.
Da die Funktionen $ x [mm] \mapsto \bruch{2^nsin(2^nx)}{3^n}$ [/mm] stetig sind, folgt daraus die Stetigkeit von f.
Zur Differenzierbarkeit:
diesen Aufgabenteil halte ich für viel zu schwer für eine Übungsaufgabe.
Deshalb : google "stetig aber nicht differenzierbar beispiel"
FRED
>
> Zur Differenzierbarkeit:
>
> durch die h-Methode folgt:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \limes_{h\rightarrow0}((\bruch{2}{3})^n\bruch{sin2^n(x_0-h)-sin(2^nx_0)}{h})[/mm]
>
> Auch hier weiß ich gerade nicht wie ich weitermachen
> soll.
>
> Kann mir hier jemand helfen?
>
> Viele Grüße
> Anil
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Stetigkeit:
[mm] \forall(\varepsilon>0) \exists(\delta>0) \forall x\in [/mm] D [mm] |z-z_0|<\delta |f(z)-f(z_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Eigentlich ist mir Stetigkeit schon klar, dachte ich..
Bei Google finde ich nur das Beispiel zur Differenzierbarkeit, aber nicht den Beweis..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Stetigkeit:
>
> [mm]\forall(\varepsilon>0) \exists(\delta>0) \forall x\in[/mm] D
> [mm]|z-z_0|<\delta |f(z)-f(z_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Besser:
[mm]\forall(\varepsilon>0) \exists(\delta>0) \forall z\in[/mm] D [mm]|z-z_0|<\delta \Rightarrow |f(z)-f(z_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Eigentlich ist mir Stetigkeit schon klar, dachte ich..
>
> Bei Google finde ich nur das Beispiel zur
> Differenzierbarkeit, aber nicht den Beweis..
Das stimmt nicht. Wahrscheinlich bist Du bei Wiki hängengeblieben.
FRED
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