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| Aufgabe | Zu berechnen die Funktionalmatrix und Funktionaldeterminate der Abbildungen
i) [mm]\IR_\ge_0\times[0,2\pi)\to\IR^2[/mm]
[mm](r,\phi)\to(r\cos \phi, r\sin \phi)[/mm]
ii) [mm]\IR_\ge_0\times[0,2\pi)\times[-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}]\to\IR^3[/mm]
[mm] (r,\phi,\sigma) \to(x,y,z)[/mm]
mit [mm]x=r\cos \phi\cos \sigma, y=r\sin \phi\cos \sigma, z=r\sin \sigma[/mm]
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Hallo liebe Leute,
ich habe bei der i) herausbekommen, dass die Determinante gleich r ist. Bei der ii) habe ich einen komplizierteren Ausdruck als Determinante bestehend aus vielen cos- und sin-Ausdrücken. Daher bin ich mir dort nicht so sicher, ob ich diese richtig berechnet habe. Könnt ihr mir eure Lösung posten. Das wäre nett.
Liebe Grüße
mathestudent
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Hallo mathestuden,
> Zu berechnen die Funktionalmatrix und Funktionaldeterminate
> der Abbildungen
>
> i) [mm]\IR_\ge_0\times[0,2\pi)\to\IR^2[/mm]
>
> [mm](r,\phi)\to(r\cos \phi, r\sin \phi)[/mm]
>
> ii) [mm]\IR_\ge_0\times[0,2\pi)\times[-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}]\to\IR^3[/mm]
>
> [mm](r,\phi,\sigma) \to(x,y,z)[/mm]
>
> mit [mm]x=r\cos \phi\cos \sigma, y=r\sin \phi\cos \sigma, z=r\sin \sigma[/mm]
>
> Hallo liebe Leute,
>
> ich habe bei der i) herausbekommen, dass die Determinante
> gleich r ist. Bei der ii) habe ich einen komplizierteren
> Ausdruck als Determinante bestehend aus vielen cos- und
> sin-Ausdrücken. Daher bin ich mir dort nicht so sicher, ob
> ich diese richtig berechnet habe. Könnt ihr mir eure Lösung
> posten. Das wäre nett.
Wir machen das andersrum:
Zeig uns Deine Lösung und wir sagen Dir dann, ob sie richtig ist.
>
> Liebe Grüße
>
> mathestudent
Gruß
MathePower
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Boah! Die Aufgabe war schon so ein getippe... :-(. Ich weiß nicht ob ich heute noch dazu komme. Hast du denn auch r als Determinante für die i) heraus?
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Hallo mathestuden,
> Boah! Die Aufgabe war schon so ein getippe... :-(. Ich weiß
> nicht ob ich heute noch dazu komme. Hast du denn auch r als
> Determinante für die i) heraus?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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Beweis zur i):
[mm]\delta rf(r,\phi)=\begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix}
\delta\phi f(r,\phi)=\begin{pmatrix} -r\sin \phi \\ r\cos \phi \end{pmatrix}[/mm]
=>
[mm] Df(r,\phi)=\begin{pmatrix}
\cos \phi & -r\sin \phi \\
\sin \phi & r\cos \phi
\end{pmatrix}[/mm]
=>
[mm]det(Df(r,\phi))=r\cos^2 \phi+r\sin^2 \phi
=r(cos^2 \phi+sin^2 \phi)
=r*1
=r[/mm]
Das wäre der Beweis zur i). Diesen Beweis habe ich analog zur ii) gemacht nur habe ich dort die Sarrus-Regel angewandt zur Ermittlung der Determinante.
bei ii) habe ich [mm]det(Df(x,y,z))=r^2*\cos \sigma(cos^2 \phi cos^2 \sigma+sin^2 \phi cos \phi sin \sigma+sin^2 \phi cos \sigma sin \sigma+sin^2 \sigma cos^2 \phi)[/mm]
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Hallo mathestuden,
> Beweis zur i):
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> [mm]\delta rf(r,\phi)=\begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix}
\delta\phi f(r,\phi)=\begin{pmatrix} -r\sin \phi \\ r\cos \phi \end{pmatrix}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]Df(r,\phi)=\begin{pmatrix}
\cos \phi & -r\sin \phi \\
\sin \phi & r\cos \phi
\end{pmatrix}[/mm]
>
> =>
>
> [mm]det(Df(r,\phi))=r\cos^2 \phi+r\sin^2 \phi
=r(cos^2 \phi+sin^2 \phi)
=r*1
=r[/mm]
>
> Das wäre der Beweis zur i). Diesen Beweis habe ich analog
> zur ii) gemacht nur habe ich dort die Sarrus-Regel
> angewandt zur Ermittlung der Determinante.
>
> bei ii) habe ich [mm]det(Df(x,y,z))=r^2*\cos \sigma(cos^2 \phi cos^2 \sigma+sin^2 \phi cos \phi sin \sigma+sin^2 \phi cos \sigma sin \sigma+sin^2 \sigma cos^2 \phi)[/mm]
>
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
Gruss
MathePower
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Das dachte ich mir auch. Das Ergebnis kam mir auch komisch vor. Geht das Ergebnis genauso "schön" auf, wie bei der i)?
Gruß
mathestudent
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Hallo mathestuden,
> Das dachte ich mir auch. Das Ergebnis kam mir auch komisch
> vor. Geht das Ergebnis genauso "schön" auf, wie bei der
> i)?
Ich sag mal so, es ist ein kurzer Ausdruck.
>
> Gruß
>
> mathestudent
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
ist die Lösung [mm]r^2 \cos \sigma[/mm] ?
Liebe Grüße
mathestudent
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Hallo mathestuden,
> Hallo MathePower,
>
> ist die Lösung [mm]r^2 \cos \sigma[/mm] ?
Ja, das kommt heraus.
>
> Liebe Grüße
>
> mathestudent
Gruß
MathePower
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Vielen Dank!
Gruß
mathestudent
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