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| Aufgabe | Cauchy untersuchte 1821 die Funktionalgleichung
[mm] \qquad $\Phi:\IR\to\IR,\quad\Phi(x+y)=\Phi(x)*\Phi(y)$
[/mm]
auf stetige Lösungen [mm] \Phi.
[/mm]
Wir nehmen weiter an [mm] \Phi(1)=c>0
[/mm]
Frage: Gibt es überhaupt nicht-stetige Lösungen? |
Liebe Forengemeinde,
Man kann leicht zeigen, dass die einzige stetige Lösung unter der Nebenbedingung [mm] \Phi(x)=c^x [/mm] ist.
Insbesondere muss für jede Lösung [mm] \Phi [/mm] gelten: [mm] \Phi(x)=c^x [/mm] für alle [mm] x\in\IQ.
[/mm]
Beweis gebe ich gerne, aber das tuts hier gar nicht zur Sache.
Für mich ist interessant, was passiert, wenn man auch nach nichtstetigen Lösungen sucht. Kann man dann überhaupt welche finden? Wenn ja, würde mir hier ein Beispiel schon reichen.
Und sonst? Wenn es keine nichtstetigen Lösungen gibt, dann müsste man ja aus der Funktionalgleichung irgendwie Stetigkeit schlussfolgern können.
Leider ist mir gar nicht klar, wie hier die Situation ist - deswegen habe ich auch keinen Ansatz zu bieten.
Deswegen würde mich über eure Hilfe sehr freuen. Danke schon im Voraus.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mo 25.04.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Cauchy untersuchte 1821 die Funktionalgleichung
> [mm]\qquad[/mm] [mm]\Phi:\IR\to\IR,\quad\Phi(x+y)=\Phi(x)*\Phi(y)[/mm]
> auf stetige Lösungen [mm]\Phi.[/mm]
> Wir nehmen weiter an [mm]\Phi(1)=c>0[/mm]
>
> Frage: Gibt es überhaupt nicht-stetige Lösungen?
Idee: Beidseitige Anwendung des Logarithmus (stetig) liefert die 'einfachere' Funktionalgleichung
[mm] \log\circ\,\Phi(x+y)=\log\circ\left(\Phi(x)*\Phi(y)\right)
[/mm]
[mm] \gdw \log\Phi(x+y)=\log\Phi(x)+\log\Phi(y) \qquad [/mm] (Logarithmengesetz)
Substitution [mm] f:=\log\circ\Phi, [/mm] also
[mm] (1)\qquad [/mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)$, mit Nebenbedingung [mm] $f(1)=\log\circ\Phi(1)=\log [/mm] c$
Es müsste m. E. reichen diese Funktionalgleichung (hier sind die linearen Funktionen stetige Lösungen) auf nichtstetige Lösungen zu untersuchen.
Zeigt man etwa, dass es für f nur stetige Lösungen gibt, so sollte es für [mm] \Phi [/mm] ebenfalls nur stetige geben (Komposition stetiger Funktionen).
Was meint ihr?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Di 26.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo kamaleonti,
hier hab ich ein wunderbares Buch, dass all Deine Fragen beantwortet:
J. Aczel, J. Dhombres: Functional equations in several variables (Cambridge University Press).
Für die Cauchysche Gl. siehe insbes. : Seite 28 ff.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Di 26.04.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred,
> Hallo kamaleonti,
>
> hier hab ich ein wunderbares Buch, dass all Deine Fragen
> beantwortet:
>
> J. Aczel, J. Dhombres: Functional equations in several
> variables (Cambridge University Press).
>
> Für die Cauchysche Gl. siehe insbes. : Seite 28 ff.
danke für den Verweis auf das Buch. Schade, dass Fachliteratur so teuer ist (bei Amazon rund 180$). Ich werde das gute Stück mal in einer Bibliothek suchen gehen 
>
> Gruß FRED
LG
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