Funktionalgleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Fr 07.01.2005 | | Autor: | volta |
Tach auch,
Ich hab ein Problem mit der Herleitung einer Funktionalgleichung:
Sei F(x) eine in [mm] (-\infty,+\infty) [/mm] definierte und dort diff.-bare Fkt. mit F'(x) = F(x) in [mm] (-\infty,+\infty), [/mm] F(0) = 1. Zeige, daß dann F(x+y) = F(x)*F(y) für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Hinweis: Man betrachte [mm] F(x)*F(x_{0}-x).
[/mm]
Natürlich ist es mir bewusst, daß diese Eigenschaften nur auf [mm] e^{x} [/mm] zutreffen, denke aber, daß man dies auch allgemein lösen kann ohne sich darauf zu beziehen ... Aber wie?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Volta!
Genau das ist doch auch der Ansatz, mit dem man überhaupt auf die e-Funktion kommt... ihr hattet doch bestimmt potenzreihen, oder?
anders kann ich mir eine lösung nicht vorstellen...
mit den bedingungen f'(x)=f(x) und f(0)=1 läßt sich ja ein Potenzreihenansatz für die Funktion ermitteln, und damit müßte man ja (unter anwendung diverser konvergenzkriterien) weiterkommen.
Was einfacheres fällt mir jedenfalls erstmal nicht ein.
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Sa 08.01.2005 | | Autor: | volta |
Die Potenzreihen hatten wir in der Vorlesung noch nicht. Und über die Nicht-Existenz von anderen Funktionen, die F'(x)=F(x) erfüllen wurde auch nichts gesagt. :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 So 09.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Hinweis: Man betrachte [mm]F(x)*F(x_{0}-x).
[/mm]
Einfach mal dem Hinweis folgen - was kann mit der Funktion denn machen? Und: hatte ihr schon den Satz [mm]f'=0 \gdw f=\mbox{const.}[/mm]? Denn damit macht man dann weiter ...
Das geht eigentlich ganz flott und schön - und ohne Potenzreihe auf jeden Fall.
SEcki
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