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| Aufgabe | | Es seien $g, [mm] f_1, f_2$ [/mm] lineare Funktionale auf einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum $V$ mit Nullräumen $N, [mm] N_1, N_2$. [/mm] Zeige: Genau dann ist [mm] $g\in span_K (\{f_1,f_2\})$, [/mm] wenn [mm] $N_1\cap N_2\subseteq [/mm] N$. |
Hallo an alle lieben Helfer,
bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter.
Was ich mir bis jetzt überlegt hab ist folgendes:
Ich setze zunächst [mm] $S^0:=\{f_1,f_2\}$ [/mm] (Annihilator von S). Dann ist [mm] $S=\{a\in V|f_i(a)=0, i=1,2\}$ [/mm] und damit doch insbesondere [mm] $S=N_1\cap N_2=ker(f_1)\cap ker(f_2)$.
[/mm]
Weiter bin ich leider nicht gekommen. Es gilt ja nun, die zwei Teilimplikationen zu zeigen, aber wie??
Ich freue mich auf eure Antworten,
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 So 27.04.2014 | | Autor: | hippias |
[mm] $\Rightarrow:$ [/mm] Sei [mm] $g\in \text{span}_{K}\{f_{1}, f_{2}\}$. [/mm] Dann existieren [mm] $\ldots\in [/mm] K$ so, dass $g= [mm] \ldots+ \ldots$. [/mm] Sei [mm] $x\in N_{1}\cap N_{2}$. [/mm] Z.z. [mm] $x\in [/mm] N$, d.h. $g(x)= 0$. Dazu verwende obige Darstellung von $g$.
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