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Nun ist es soweit, der erste Übungszettel ist da^^
Ich hatte mir fest vorgenommen, diesen allein zu lösen, da ja bekanntlich so der Lerneffekt am Größten ist, aber ich bin mir zu unsicher die Aufgaben so abzugeben.
Es gilt folgendes zu zeigen:
[mm] f(\bigcap_{i=1}^{n}M_i) [/mm] = [mm] \bigcap_{i=1}^{n}f(M_i)
[/mm]
[mm] M_i [/mm] sei eine Indexmenge und Teilmenge von M.
Da es ja um eine Gleichheit von Mengen geht, zeige ich zuerst
[mm] \subseteq [/mm] und dann [mm] \supseteq
[/mm]
Hier [mm] "\subseteq"
[/mm]
ich habe mir ein f(x) beliebig aus [mm] f(\bigcap_{i=1}^{n}M_i) [/mm] gewählt.
=> f(x) [mm] \in f(M_1 \cap M_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap M_n)
[/mm]
=> x [mm] \in M_1 \cap M_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap M_n
[/mm]
=> x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \in M_2 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in M_n
[/mm]
=> f(x) [mm] \in f(M_1) \wedge [/mm] f(x) [mm] \in f(M_2) \wedge [/mm] ... [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in f(M_n)
[/mm]
=> f(x) [mm] \in f(M_1) \cap f(M_2) \cap [/mm] ... [mm] \cap f(M_n)
[/mm]
=> f(x) [mm] \in \bigcap_{i=1}^{n}f(M_i)
[/mm]
Wäre diese Richtung so bewiesen? Die Rückrichtung verläuft analog.
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Hallo Heatshawk,
betrachte einmal im Fall $n = 2$ die Mengen [mm] $M_1 [/mm] = [mm] \{1\}$ [/mm] und [mm] $M_2 [/mm] = [mm] \{2\}$ [/mm] und die Abbildung $f: [mm] M_1 \cup M_2 \rightarrow \{0\}$ [/mm] mit $f(1) = 0$ und $f(2) = 0$.
Dann ist [mm] $f(M_1)\cap f(M_2) [/mm] = [mm] \{0\}$, [/mm] aber [mm] $f(M_1\cap M_2) [/mm] = [mm] f(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
LG mathfunnel
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Ups, ich meinte [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] anstatt [mm] \bigcap_{i=1}^{n}.
[/mm]
Dazu gibt es kein Gegenbeispiel richtig?
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Hallo Heatshawk,
> Ups, ich meinte [mm]\bigcup_{i=1}^{n}[/mm] anstatt
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n}.[/mm]
> Dazu gibt es kein Gegenbeispiel richtig?
dann meckere ich eben ein bisschen an was anderem herum 
> $ [mm] M_i [/mm] $ sei eine Indexmenge und Teilmenge von M.
Du meinst wahrscheinlich Folgendes:
$I = [mm] \{1,\ldots n \}$ [/mm] ist eine Indexmenge für [mm] $\mathcal{M} [/mm] = [mm] \{M_1,\ldots, M_n\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] ist eine Familie oder eine indizierte Menge. Die Elemente von [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] sind Teilmengen einer Menge $M$. Es ist wahrscheinlich $f: M [mm] \rightarrow [/mm] N$. ($N$ irgendeine Menge)
> => f(x) $ [mm] \in f(M_1 \cap M_2 \cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap M_n) [/mm] $
> => x $ [mm] \in M_1 \cap M_2 \cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap M_n [/mm] $
Es gilt beispielsweise Folgendes [mm] \textbf{nicht}:
[/mm]
$f(x) [mm] \in f(M_1 \cup M_2 \cup [/mm] $ ... $ [mm] \cup M_n) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in M_1 \cup M_2 \cup [/mm] $ ... $ [mm] \cup M_n [/mm] $ (Falls ein $x$ existiert mit $x [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash (M_1 \cup M_2 \cup [/mm] $ ... $ [mm] \cup M_n)$ [/mm] und $f(x) [mm] \in f(M_1 \cup \ldots \cup M_n) [/mm] $
also
$f(x) [mm] \in f(M_1 \cup M_2 \cup [/mm] $ ... $ [mm] \cup M_n)\not\Rightarrow [/mm] x [mm] \in M_1 \cup M_2 \cup [/mm] $ ... $ [mm] \cup M_n [/mm] $
Ich hoffe, dass ich alles richtig interpretiert habe.
LG mathfunnel
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