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| Aufgabe | Geg. ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{6} x(x-8)^2 [/mm]
Jede durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade hat mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion f(x). Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Gerade mit dem Graphen der Funktion f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden.
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Guten Abend zusammen!
Meine Überlegungen: Gleichung der Geraden ist y=mx+b, ein gegebener Punkt ist der Koordinatenursprung (0;0) und ich habe die Funktion f(x). Der Punkt (0;0) ist eine Nullstelle von f(x).
Irgendwie dann die Gerade als Tangente betrachten? Die erste Ableitung f'(0) = [mm] \bruch{32}{3}. [/mm]
Aber wie ist das gemeint mit: "Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Gerade mit dem Graphen der Funktion f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden."?
Könnte es ungefähr so ausschauen: für Steigung m gilt (0<x<...) 2 Schnittpunkte; (...<x<...) 3 Schnittpunkte?
Hat bitte jemand einen Lösungsansatz für mich?
Danke für Eure Mühen, LG Markus
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> Geg. ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{6} x(x-8)^2[/mm]
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> Jede durch den Koordinatenursprung verlaufende Gerade hat
> mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der
> Funktion f(x). Ermitteln Sie die Anzahl der gemeinsamen
> Punkte dieser Gerade mit dem Graphen der Funktion f in
> Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden.
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>
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> Guten Abend zusammen!
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> Meine Überlegungen: Gleichung der Geraden ist y=mx+b,
Da die Gerade durch den Koordinatenursprung gehen soll, kannst Du genauer sagen, dass ihre Gleichung die Form $y=mx$ hat.
>ein
> gegebener Punkt ist der Koordinatenursprung (0;0) und ich
> habe die Funktion f(x). Der Punkt (0;0) ist eine Nullstelle
> von f(x).
> Irgendwie dann die Gerade als Tangente betrachten? Die
> erste Ableitung f'(0) = [mm]\bruch{32}{3}.[/mm]
>
>
> Aber wie ist das gemeint mit: "Ermitteln Sie die Anzahl der
> gemeinsamen Punkte dieser Gerade mit dem Graphen der
> Funktion f in Abhängigkeit vom Anstieg der Geraden."?
Die Schnittgleichung $f(x)=mx$ hat, in Abhängigkeit von $m$, eben eine oder mehrere Lösungen. Diese Schnittgleichung ist zwar vom 3. Grad, aber eine Lösung ist offensichtlich: $x=0$. Die Anzahl etwaiger weiterer Lösungen läuft auf die Diskussion einer quadratischen Gleichung mit dem Formparameter $m$ hinaus(Vorzeichen der Diskriminante dieser quadratischen Gleichung untersuchen).
> Könnte es ungefähr so ausschauen: für Steigung m gilt
> (0<x<...) 2 Schnittpunkte; (...<x<...) 3 Schnittpunkte?
>
> Hat bitte jemand einen Lösungsansatz für mich?
Siehe oben.
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Hi und danke für die schnelle Antwort!
Habe f(x)=mx gesetzt
[mm] \bruch{1}{6}x^3 -\bruch{8}{3}x^2 +\bruch{32}{3}x=mx [/mm]
Durch x geteilt und m abgezogen:
[mm] \bruch{1}{6}x^2 -\bruch{8}{3}x +\bruch{32}{3}-m=0
[/mm]
In die Diskriminante
D= [mm] \wurzel{(-\bruch{8}{3})^2 - 4*\bruch{1}{6}*\bruch{32}{3}-m}
[/mm]
D= [mm] \wurzel{\bruch{64}{9}-\bruch{64}{9}-m}
[/mm]
Dann wäre für:
m=0 (1 Lsg., also 1 Schnittpunkt)
m<0 (2 Lsg., also 2 Schnittpunkte)
m>0 (keine Lsg.)
Stimmt das so? Eine Frage hätte ich noch, Warum sind drei Lösungen und mehr nicht möglich? Im Koordinatensystem schaut das so aus. Oder muss ich den Schnittpunkt (0;0) immer dazuzählen zu den Lösungen der Diskriminante?
Danke + LG Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mo 17.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi und danke für die schnelle Antwort!
>
> Habe f(x)=mx gesetzt
>
> [mm]\bruch{1}{6}x^3 -\bruch{8}{3}x^2 +\bruch{32}{3}x=mx[/mm]
>
> Durch x geteilt und m abgezogen:
Schlimmer Fehler! Damit beraubst du dich der ersten Lösung.
[mm]\bruch{1}{6}x^3 -\bruch{8}{3}x^2 +\bruch{32}{3}x-mx=0[/mm]
[mm]x*(\bruch{1}{6}x^2 -\bruch{8}{3}x +\bruch{32}{3}-m)=0[/mm]
Ein Produkt ist Null, wenn ....
>
> [mm]\bruch{1}{6}x^2 -\bruch{8}{3}x +\bruch{32}{3}-m=0[/mm]
>
> In die Diskriminante
>
> D= [mm]\wurzel{(-\bruch{8}{3})^2 - 4*\bruch{1}{6}*\bruch{32}{3}-m}[/mm]
>
> D= [mm]\wurzel{\bruch{64}{9}-\bruch{64}{9}-m}[/mm]
>
> Dann wäre für:
> m=0 (1 Lsg., also 1 Schnittpunkt)
> m<0 (2 Lsg., also 2 Schnittpunkte)
> m>0 (keine Lsg.)
>
> Stimmt das so? Eine Frage hätte ich noch, Warum sind drei
> Lösungen und mehr nicht möglich? Im Koordinatensystem
> schaut das so aus. Oder muss ich den Schnittpunkt (0;0)
Siehe oben. Dort lag dein Problem.
Gruß Abakus
> immer dazuzählen zu den Lösungen der Diskriminante?
>
> Danke + LG Markus
>
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