Funktion und Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 So 16.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Sei f: U [mm] \to \IR [/mm] mit
f(a,b):=kleinste reelle Nullstelle von [mm] x^2+ax+b
[/mm]
Bestimmen Sie dafür:
a) einen möglichst großen offenen Definitionsbereich U [mm] \subseteq \IR^2
[/mm]
b) [mm] J_f(a,b)
[/mm]
c) alle Richtungsableitungen |
Also ich hab schon irgendwie meine probleme mir die funktion vorzustellen.
Die funktion ist also definiert als die kleinste Nullstelle von [mm] x^2+ax+b
[/mm]
Dazu müsste ich ja erstmal wissen wann f(a,b)=0 ist.
Aber Nst. von funktionen aus dem [mm] \IR^n [/mm] kann man ja nicht so ohne weiteres bestimmen.
Kann mir jemand helfen ? Irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht so ganz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion f ist wie folgt def.:
ist (a,b) [mm] \in [/mm] U , so betrachte die Funktion [mm] p(t)=t^2+at+b [/mm] und berechne die Nullstellen [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] von p.
Dann ist f(a,b):= min [mm] \{t_1,t_2 \}
[/mm]
Beispiel: f(0,-1)=-1
In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm] \in [/mm] U die Gl. [mm] t^2+at+b [/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U "möglichst " groß ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 16.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Die Funktion f ist wie folgt def.:
>
> ist (a,b) [mm]\in[/mm] U , so betrachte die Funktion [mm]p(t)=t^2+at+b[/mm]
> und berechne die Nullstellen [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm] von p.
>
> Dann ist f(a,b):= min [mm]\{t_1,t_2 \}[/mm]
Okay, also das habe ich mal gemacht:
[mm] t^2+at+b=0
[/mm]
[mm] \gdw t^2+at=-b
[/mm]
[mm] \gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b
[/mm]
[mm] \gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2-4b}{4}
[/mm]
[mm] \gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}} [/mm] Was nur geht, wenn [mm] \bruch{a^2-4b}{4}\ge0 [/mm] ist.
[mm] \gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] t = [mm] \pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}-\bruch{a}{2}
[/mm]
Dann ist f(a,b):= min $ [mm] \{ \bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} , -\bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} \} [/mm] $
> Beispiel: f(0,-1)=-1
Das würde dann auch passen.
> In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm]\in[/mm] U die Gl.
> [mm]t^2+at+b[/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U
> "möglichst " groß ist.
Okay, also muss
[mm] a^2-4b\ge [/mm] 0
[mm] \gdw a^2\ge [/mm] 4b
Dass gilt schonmal für alle (a,b) [mm] \in [4,\infty)
[/mm]
Für (a,b) [mm] \in \{0\}
[/mm]
Für (a,b) [mm] \in (-\infty, [/mm] 0) ist die gleichung auch erfüllt.
Also darf [mm] (a,b)\in [/mm] U mit [mm] U:=\{ (-\infty, 0], [4,\infty)\}
[/mm]
sein ?
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mo 17.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]t^2+at+b=0[/mm]
>
> [mm]\gdw t^2+at=-b[/mm]
>
>
> [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b[/mm]
>
> [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2-4b}{4}[/mm]
>
> [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm] Was nur
> geht, wenn [mm]\bruch{a^2-4b}{4}\ge0[/mm] ist.
>
> [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw[/mm] t = [mm]\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}-\bruch{a}{2}[/mm]
>
richtig
> Dann ist f(a,b):= min [mm]\{ \bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} , -\bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} \}[/mm]
hier hast du einen Fehler, das 2 te -a muss +2a sein.
kannst du das min nicht bestimmen?
> > Beispiel: f(0,-1)=-1
>
> Das würde dann auch passen.
>
> > In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm]\in[/mm] U die Gl.
> > [mm]t^2+at+b[/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U
> > "möglichst " groß ist.
>
> Okay, also muss
>
> [mm]a^2-4b\ge[/mm] 0
>
> [mm]\gdw a^2\ge[/mm] 4b
>
> Dass gilt schonmal für alle (a,b) [mm]\in [4,\infty)[/mm]
das und das folgende ist sinnlos, U ist kein Intervall sondern eine 2 dimensionale Menge, also aus [mm] \IR^2, [/mm] das kannst du nicht als Intervall angeben, entweder einfach durch die Ungleichung oder geometrisch , als Gebiet im [mm] R^2 [/mm] das ausserhalb der Parabel [mm] b=a^2/4 [/mm] liegt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo
>
> > [mm]t^2+at+b=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw t^2+at=-b[/mm]
> >
> >
> > [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2}{4}-b[/mm]
> >
> > [mm]\gdw (t+\bruch{a}{2})^2=\bruch{a^2-4b}{4}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm] Was nur
> > geht, wenn [mm]\bruch{a^2-4b}{4}\ge0[/mm] ist.
> >
> > [mm]\gdw t+\bruch{a}{2}=\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\gdw[/mm] t = [mm]\pm \wurzel{\bruch{a^2-4b}{4}}-\bruch{a}{2}[/mm]
> >
> richtig
> > Dann ist f(a,b):= min [mm]\{ \bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} , -\bruch{\wurzel{a^2-4b}-2a}{2} \}[/mm]
>
> hier hast du einen Fehler, das 2 te -a muss +2a sein.
> kannst du das min nicht bestimmen?
> > > Beispiel: f(0,-1)=-1
> >
> > Das würde dann auch passen.
> >
> > > In a) ist U so zu bestimmen, dass für (a,b) [mm]\in[/mm] U die Gl.
> > > [mm]t^2+at+b[/mm] reelle Lösungen hat, dass U offen ist und dass U
> > > "möglichst " groß ist.
> >
> > Okay, also muss
> >
> > [mm]a^2-4b\ge[/mm] 0
> >
> > [mm]\gdw a^2\ge[/mm] 4b
> >
> > Dass gilt schonmal für alle (a,b) [mm]\in [4,\infty)[/mm]
>
> das und das folgende ist sinnlos, U ist kein Intervall
> sondern eine 2 dimensionale Menge, also aus [mm]\IR^2,[/mm] das
> kannst du nicht als Intervall angeben, entweder einfach
> durch die Ungleichung oder geometrisch , als Gebiet im [mm]R^2[/mm]
> das ausserhalb der Parabel [mm]b=a^2/4[/mm] liegt.
>
> Gruss leduart
Hey vielen dank an alle für die Hilfe.
Ich habs nun hinbekommen. :)
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