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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 23.08.2011 | | Autor: | hula |
Abend!
Hm...ich brauche ein Bsp. für eine Funktionenfolge die folgende Punkte erfüllt:
1. [mm] f_n [/mm] sollen stetige Funtionen auf einem Intervall [mm] [-t,t] t \in \IR[/mm]
2. [mm] f_n(0) = s \in \IR [/mm]
3. [mm] \parallel f_n \parallel_{L^2([-t,t])} \to 0 [/mm]
Wobei in 3. die übliche [mm] \L^2 [/mm] gemeint ist. leider schaffe ich es nicht eine solche Folge zu konstruieren. Ich bin einmal die einfachen Fälle durchgegangen, ohne Erfolg. Kann mir jemand helfen?
Danke!
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 23.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hi hula,
weisst Du denn, was Dir bei dieser Aufgabe klarwerden soll?
Ansonsten fangen wir mal mit Punkt 2 an, der ist der einfachste.
Irgendeine Funktion, die an der Stelle $0$ den Wert $s$ hat. Ich bin faul, deswegen suche ich eine Funktion, die an der Stelle $0$ den Wert $1$ hat und multipliziere sie mit $s$. Machen wir sie symmetrisch, dann müssen wir nicht über -x und x nachdenken. So ein cosinus wäre doch ganz schick, ist sogar stetig.
Mal sehen, ob Du den Rest hinbekommst. Wenn Du weisst, worum es in dieser Aufgabe geht, sollte das eigentlich ganz einfach sein.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mi 24.08.2011 | | Autor: | hula |
Hallo AT-Colt
Danke für deine Antwort. Mit deinem Tipp habe ich ja eine Funktion der Form
[mm] s*\cos{(x)} [/mm]
jetzt muss ich diese ja noch so verändern (mit Hilfe eines n), dass es die eine $\ [mm] L^2 [/mm] $ Norm von Null hat. Dabei habe ich zuerst an so was gedacht:
[mm] s*\cos{(\wurzel[n]{x}*\bruch{\pi}{2})} [/mm]
Das würde alles erfüllen, aber dann habe ich ja gesehen, dass für negative $\ x $, die Wurzel ja nicht definiert ist! Kannst du mir nochmals einen Tipp geben?
greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Mi 24.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hi, warum ziehst Du denn die Wurzel aus $x$, hat das einen bestimmten Grund?
Das ist auch eine komische Funktionswahl, je nachdem wie gross Dein $t$ ist. Wenn es groesser als 1 ist, hast Du bis 1 x-Werte, die immer kleiner werden und ab 1 x-Werte die immer groesser werden. Ich weiss nicht, ob die Funktion so gut zu kontrollieren ist.
Aber was ist denn generell eine Eigenschaft des Cosinus, die Dir hier helfen wuerde? So vom Wertebereich her. Was passiert, wenn Du an Deine Grundfunktion nochmal ein [mm] $cos(\pi [/mm] x/2)$ dranmultiplizierst?
Viele Gruesse,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mi 24.08.2011 | | Autor: | hula |
Hallo AT-Colt
Danke für die schnelle Antwort!
Meine Überlegung war folgende. Ich brauch ja eine Funktionfolge. Dann dachte ich mir, dass der letzte Punkt gilt, konstruiere ich mir eine Folge die als Grenzfunktion 0 hat, dann ist das Integral auch 0. Daher habe ich nach einer Folge gesucht, die gegen 1 konvergiert, damit nur noch die $\ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] $ im Kosinus stehen und dieser dort 0 ist. Dies waren meine Überlegungen.
> Hi, warum ziehst Du denn die Wurzel aus [mm]x[/mm], hat das einen
> bestimmten Grund?
> Das ist auch eine komische Funktionswahl, je nachdem wie
> gross Dein [mm]t[/mm] ist. Wenn es groesser als 1 ist, hast Du bis 1
> x-Werte, die immer kleiner werden und ab 1 x-Werte die
> immer groesser werden. Ich weiss nicht, ob die Funktion so
> gut zu kontrollieren ist.
> Aber was ist denn generell eine Eigenschaft des Cosinus,
> die Dir hier helfen wuerde? So vom Wertebereich her.
Naja, der normal Kosinus ist beschränkt durch:
[mm] |\cos{(x)}|\le 1 [/mm]
>Was
> passiert, wenn Du an Deine Grundfunktion nochmal ein
> [mm]cos(\pi x/2)[/mm] dranmultiplizierst?
>
Du meinst so was:
[mm] s*cos(\pi x/2)*cos(x) [/mm]
Da habe ich ja aber das selbe Problem. ich will ja ein n ins Spiel bringen. Das die Funktion 0 wird, muss ich im ersten Kosinus eine Folge finden, die für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $ gegen 1 strebt, damit dort $\ [mm] \cos{(\bruch{\pi}{2})} [/mm] $ steht. Oder verstehe ich da etwas falsch?
Greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mi 24.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Es geht doch viel einfacher:
Ich gehe davon aus, dass t>0 ist. Ist nun n [mm] \in \IN [/mm] so, dass n [mm] \ge [/mm] 1/t ist, so haben wir:
[mm] $\bruch{1}{n}, \bruch{-1}{n} \in [/mm] [-t,t]$.
Für ein solches n sei [mm] f_n \equiv [/mm] 0 auf $[-t, [mm] \bruch{-1}{n}]$ [/mm] und auf [mm] $[\bruch{1}{n},t]$
[/mm]
Im Intervall [mm] $[\bruch{-1}{n}, \bruch{1}{n}]$ [/mm] besteht der Graph von [mm] f_n [/mm] aus den nichtwaagrechten Seiten des Dreiecks mit den Ecken [mm] (\bruch{-1}{n}|0), [/mm] (0|s) und [mm] (\bruch{1}{n}|0).
[/mm]
Zeichnung ! Nun überzeuge Dich davon, dass [mm] (f_n) [/mm] das Gewünschte leistet.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mi 24.08.2011 | | Autor: | hula |
Hallo fred
danke für deine Antwort:
Zu den Bedingungen:
1. Offenbar ist die Funktion stetig.
2. So wie du sie konstruiert hast, ist sie per Definition $\ [mm] f_n(0) [/mm] = s$.
3. Es ist klar, dass die Funktionenfolge für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $ gegen 0 strebt. (nicht danz korrekt, denke ich, da auf der Nullmenge $\ 0 $ sie den Wert s hat und danach gleich wieder 0 ist. Dies ist aber fürs Integrieren egal.
Um zu zeigen, dass die $\ [mm] L^2 [/mm] $ Norm 0 ist, gilt folgendes:
$\ [mm] |f_n(x)| \le [/mm] s $ und $\ s$ ist eine $\ [mm] L^2$ [/mm] integrierbare Funktion, da ich einen beschränkten Raum (im Sinne von Masse) habe. $\ [mm] f_n(x) [/mm] $ konvergiert punktweise gegen:
[mm]f(x)=\begin{cases} s, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
weiter sind die $\ [mm] f_n [/mm] $ alle $\ [mm] L^2$ [/mm] integrierbar, also kann ich den Satz von der dominierenden Konvergenz anwenden und erhalte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{[-t,t]}{f_n(x) dx} = \integral_{[-t,t]}{f(x) dx} = \integral_{[-t,t]}{0 dx} = 0 [/mm]
Da wie bereits erwähnt, die Menge $\ [mm] \{0\} [/mm] $ eine Nullmenge ist.
Stimmt das so?
greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mi 24.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> danke für deine Antwort:
>
> Zu den Bedingungen:
>
> 1. Offenbar ist die Funktion stetig.
> 2. So wie du sie konstruiert hast, ist sie per Definition
> [mm]\ f_n(0) = s[/mm].
> 3. Es ist klar, dass die Funktionenfolge für [mm]\ n \to \infty[/mm]
> gegen 0 strebt. (nicht danz korrekt, denke ich, da auf der
> Nullmenge [mm]\ 0[/mm] sie den Wert s hat und danach gleich wieder 0
> ist. Dies ist aber fürs Integrieren egal.
Ja, [mm] (f_n) [/mm] strebt punktweise fast überall gegen 0.
>
> Um zu zeigen, dass die [mm]\ L^2[/mm] Norm 0 ist, gilt folgendes:
>
> [mm]\ |f_n(x)| \le s[/mm] und [mm]\ s[/mm] ist eine [mm]\ L^2[/mm] integrierbare
> Funktion, da ich einen beschränkten Raum
> (im Sinne von Masse) habe.
Was meinst Du damit ?
> [mm]\ f_n(x)[/mm] konvergiert punktweise gegen:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} s, & \mbox{für } x=0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> weiter sind die [mm]\ f_n[/mm] alle [mm]\ L^2[/mm] integrierbar, also kann
> ich den Satz von der dominierenden Konvergenz anwenden und
> erhalte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{[-t,t]}{f_n(x) dx} = \integral_{[-t,t]}{f(x) dx} = \integral_{[-t,t]}{0 dx} = 0[/mm]
>
> Da wie bereits erwähnt, die Menge [mm]\ \{0\}[/mm] eine Nullmenge
> ist.
> Stimmt das so?
Na ja, Du sollst doch $ [mm] \parallel f_n \parallel_{L^2([-t,t])} \to [/mm] 0 $ zeigen. Das bedeutet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx}=0
[/mm]
Du kannst ganz einfach auch [mm] \integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx} [/mm] ausrechnen !
FRED
>
>
> greetz
>
> hula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mi 24.08.2011 | | Autor: | hula |
> Na ja, Du sollst doch [mm]\parallel f_n \parallel_{L^2([-t,t])} \to 0[/mm]
> zeigen. Das bedeutet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx}=0[/mm]
>
> Du kannst ganz einfach auch [mm]\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx}[/mm]
> ausrechnen !
>
> FRED
>
Hm...ok
[mm]\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx} =\integral_{[-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}]}{f_n(x)^2 dx} \le \integral_{[-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}]}{s^2 dx} = 0[/mm]
besser so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mi 24.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Na ja, Du sollst doch [mm]\parallel f_n \parallel_{L^2([-t,t])} \to 0[/mm]
> > zeigen. Das bedeutet:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx}=0[/mm]
>
> >
> > Du kannst ganz einfach auch [mm]\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx}[/mm]
> > ausrechnen !
> >
> > FRED
> >
> Hm...ok
>
> [mm]\integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx} =\integral_{[-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}]}{f_n(x)^2 dx} \le \integral_{[-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}]}{s^2 dx} = 0[/mm]
>
> besser so?
Nein ! Das letzte Integral ist nicht =0.
Korrekt:
[mm]0 \le \integral_{[-t,t]}{f_n(x)^2 dx} =\integral_{[-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}]}{f_n(x)^2 dx} \le \integral_{[-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}]}{s^2 dx} = 2s^2/n \to 0 [/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 24.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Ich wollte auf soetwas hinaus:
[mm] $f_{1}(x) [/mm] = [mm] s\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2t}\cdot x\right)^{(1)}$, [/mm] das ist Deine Grundfunktion, die wir mit unseren Ueberlegungen gefunden haben. Die Skalierung im Argument des Cosinus ist nur kosmetischer Natur.
Diese Funktion wird ja betragsmaessig hoechstens kleiner, wenn wir sie mit einer Funktion multiplizieren, die im Betrage immer kleiner/gleich $1$ ist. Die Funktion [mm] $\cos\left(\frac{\pi}{2t}\cdot x\right)$ [/mm] erfuellt ja genau das, ausserdem hat sie praktischer Weise (wie wir schon wissen) an der Stelle $0$ den Wert $1$, macht also nicht Bedingung 2 kaputt.
Schreiben wir also mal
[mm] $f_{2}(x) [/mm] = [mm] s\cos\left(\frac{\pi}{2t}\cdot x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2t}\cdot x\right) [/mm] = [mm] s\cos\left(\frac{\pi}{2t}\cdot x\right)^{2}$
[/mm]
U get the idea?
Die Funktion von fred geht natuerlich auch, aber wieso stueckweise stetig differenzierbar, wenn wir unendlich oft stetig differenzierbar haben koennen ^^
Viele Gruesse,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mi 24.08.2011 | | Autor: | hula |
Hallo AT-Colt
Entschuldige die vielen Fragen, aber eine hätte ich noch zu deiner Funktion. Es könnte sein, dass $\ x $ gerade die Werte annimmt, an welchen die Funktion $\ = 1 $ ist. Dann konvergiert sie ja nicht mehr gegen 0 für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $.
Man wil ja sicherlich dominierende Konvergenz anwenden. Würdest du dann einfach so argumentieren, dass alle diese Werte, welches ja Nullmengen sind, aus dem Integrationsbereich entfernst?
greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mi 24.08.2011 | | Autor: | AT-Colt |
So, wie die Funktion zuletzt definiert war, sollte sie eigentlich von einer ihrer Nullstellen bei $x = -t$ bis zu ihrer naechsten Nullstelle $x = t$ gehen. Dazwischen nimmt sie nur bei $x = 0$ den Wert $s$ an und konvergiert punktweise fuer jeden anderen Punkt gegen $0$.
Hast Du vielleicht das $1/t$ im Argument des Cosinus ueberlesen?
Viele Gruesse,
AT-Colt
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> Die Funktion von fred geht natuerlich auch, aber wieso
> stueckweise stetig differenzierbar, wenn wir unendlich oft
> stetig differenzierbar haben koennen ^^
Hallo AT-Colt,
wozu der Luxus, wenn wirklich bloß Stetigkeit gefragt ist.
Falls aber die [mm] f_n [/mm] tatsächlich unendlich oft differenzierbar
sein sollten, ginge es natürlich auch mit Polynomen:
$\ [mm] f_n(x)\ [/mm] =\ [mm] s*\left(1-\left(\frac{x}{t}\right)^2\right)^n$
[/mm]
Damit erspart man sich die Fallunterscheidung in der
Definition von [mm] f_n [/mm] (wie bei Freds Vorschlag) und das [mm] \pi [/mm]
(beim Cosinus).
LG Al-Chw.
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