Funktion stetig, partielle Abl < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm] f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & sonst \end{cases} [/mm].
a) Ist f in (0,0) stetig?
b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung [mm]\bruch{\partial f_x}{\partial_y}(p)[/mm] sowie [mm]\bruch{\partial f_y}{\partial_x}(p)[/mm] an der Stelle p=(0,0). |
Hallo,
ich habe zu obiger Aufgabe folgendes:
a) ja, denn [mm]\limes_{h,t \rightarrow 0}f(h,t) = \limes_{h,t \rightarrow 0}ht\bruch{h^2-t^2}{h^2+t^2} \le \limes_{h,t \rightarrow 0}ht\bruch{h^2}{h^2} = \limes_{h,t \rightarrow 0}ht = 0 = f(0,0) [/mm].
b)
Keine Ahnung. Ich muss doch erst nach x ableiten, dann nach y in (0,0) bzw. andersherum. Wenn ich f nach x mit der Richtungsableitung ableite, komm ich doch darauf: [mm]f_x = \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)}{h} = \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h\cdot 0\cdot \bruch{h^2}{h^2}}{h} = 0[/mm]. Das dann nach y abgeleitet, ist doch wieder 0. Die Funktion steht aber in meinem Skript als Beispiel und es gilt: [mm]\partial_x\partial_yf(p) \not= \partial_y\partial_xf(p)[/mm].
Was mache ich falsch und wie wäre es richtig? Ich bin sehr dankbar für Hilfe.
MfG
MatheSpass
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mo 02.02.2009 | | Autor: | MatheSpass |
b) hab ich mittlerweile, stimmen meine überlegungen zu a)?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \\ xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & sonst \end{cases} [/mm].
>
> a) Ist f in (0,0) stetig?
> b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter
> Ordnung [mm]\bruch{\partial f_x}{\partial_y}(p)[/mm] sowie
> [mm]\bruch{\partial f_y}{\partial_x}(p)[/mm] an der Stelle p=(0,0).
> Hallo,
> ich habe zu obiger Aufgabe folgendes:
> a) ja, denn [mm]\limes_{h,t \rightarrow 0}f(h,t) = \limes_{h,t \rightarrow 0}ht\bruch{h^2-t^2}{h^2+t^2} \red{\le} \limes_{h,t \rightarrow 0}ht\bruch{h^2}{h^2} = \limes_{h,t \rightarrow 0}ht = 0 = f(0,0) [/mm].
Das rote [mm] $\le$ [/mm] ist falsch (beachte, dass h,t ja sowohl nichtnegativ als auch negativ sein können, so dass auch $h*t < 0$ möglich wäre) und es würde Dir auch nichts bringen. Du musst ja nicht [mm] $\lim_{h,t \to 0}f(h,t) \le f(0,0)\,,$ [/mm] sondern $=f(0,0)$ nachrechnen!
(Vgl. dazu etwa Bemerkung 8.17 und Satz 10.7 sowie Definition 10.4 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript.)
Was Du machen kannst:
[mm] $$\text{Das war Unsinn und daher ist's jetzt verworfen! Lese ab dem '' edit: '' weiter.}$$
[/mm]
edit: Mit Deiner Rechnung ist's doch ein wenig eleganter, sofern man sich Beträge spendiert:
[mm] $$\Big|\limes_{h,t \rightarrow 0}f(h,t)\Big| [/mm] = [mm] \limes_{h,t \rightarrow 0}|ht|\bruch{|h^2-t^2|}{h^2+t^2} \le \limes_{h,t \rightarrow 0}|ht| [/mm] = [mm] 0\,,$$
[/mm]
aber ich würde es so, wie ich es hier notiert habe, aufschreiben. Denn $(h,t) [mm] \to [/mm] (0,0)$ gilt auch, wenn $h =0$ und $0 [mm] \not=t \to 0\,,$ [/mm] und dann hätte man mit dem Term [mm] $h^2/h^2$ [/mm] formal Probleme (der Term stünde dann für $0/0$; wobei allerdings sowieso $f(0,t)=0$ für alle [mm] $\,t\,$ [/mm] und $f(h,0)=0$ für alle [mm] $\,h\,$ [/mm] gilt. Aber das führt dann zu Fallunterscheidungen, wobei sich obige Abschätzung ja durchaus auch mithilfe von Fallunterscheidungen begründen läßt...)
Du kannst Dir aber leicht überlegen:
Für $a > 0$ und $b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $$\frac{|a-b|}{a+b} \le 1\,,$$
[/mm]
und mehr braucht man für obige Abschätzung nicht.
Teil
> b)
> ...
hat sich ja anscheinend mittlerweile erledigt?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:52 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Manchmal sind Polarkoordinaten hilfreich.
Sei $x = rcos(t) , y = rsin(t).$
Dann: $|f(x,y)| = [mm] |r^2 [/mm] cos(t)sin(t)( [mm] cos^2(t)-sin^2(t))| \le 2r^2$
[/mm]
FRED
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