Funktion stetig fortsetzen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 30.01.2011 | | Autor: | novex |
| Aufgabe | Zeigen sie unter zuhilfenahme der Regel von de´l Hospital , daß die Funktion:
[mm] f: \IR \backslash\{0\} \to \IR , f(x) = \bruch{\cos(x^2) -1}{x^2}[/mm]
zu einer auf ganz [mm]\IR[/mm] definierten Funktion fortgesetzt werden kann . |
Hallo ihr Mathegenies xD
Ich habe keinen richtigen ansatz wie ich das hier machen soll....
kann mir jemand helfen ? 
gruß noveX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 30.01.2011 | | Autor: | Ixion |
Du musst mithilfe der Regel von l'hospital untersuchen ob die Funktion stetig fortgesetzt werden kann. Also musst du erstmal [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x)
mit Hilfe der Regel berechnen. Hier ist g(x) = [mm] cos(x^{2}) [/mm] - 1 und h(x) = [mm] x^2
[/mm]
Die Regel von l´hospital besagt : Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g(x)/h(x) = [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ist , liefert [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g'(x) / h'(x) den Grenzwert gegen 0. Du musst die Regel hier 2 mal anwenden, als bekommst den Grenzwert von x gegen 0 durch [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g''(x) / h''(x) .
Versuch es soweit erstmal alleine und schreib dann was du als Ergebnis bekommen hast. Dann wird dir sicherlich weiter geholfen, falls noch weitere Unklarheiten bestehen. Ich kann leider erst wieder um 22Uhr hier eine Antwort schreiben, da ich gleich im Zug sitzen werde.
Ich hoffe ich konnt dir helfen, MFG Philipp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 30.01.2011 | | Autor: | novex |
> Du musst mithilfe der Regel von l'hospital untersuchen ob
> die Funktion stetig fortgesetzt werden kann. Also musst du
> erstmal [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x)
> mit Hilfe der Regel berechnen. Hier ist g(x) = [mm]cos(x^{2})[/mm]
> - 1 und h(x) = [mm]x^2[/mm]
> Die Regel von l´hospital besagt : Wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g(x)/h(x) = [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ist ,
> liefert [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g'(x) / h'(x) den
> Grenzwert gegen 0. Du musst die Regel hier 2 mal anwenden,
> als bekommst den Grenzwert von x gegen 0 durch
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g''(x) / h''(x) .
> Versuch es soweit erstmal alleine und schreib dann was du
> als Ergebnis bekommen hast. Dann wird dir sicherlich weiter
> geholfen, falls noch weitere Unklarheiten bestehen. Ich
> kann leider erst wieder um 22Uhr hier eine Antwort
> schreiben, da ich gleich im Zug sitzen werde.
> Ich hoffe ich konnt dir helfen, MFG Philipp
Jou und mit dem hospital komme ich auf [mm]f(x) = \bruch{2x*(-\sin(x^2))}{2x} [/mm]
und durch das weg kürzen bleibt nur noch [mm] -\sin(x^2) [/mm] übrig was einen limes gegen 0 von 0 erzeugt....
nur frage ich mich wie ich hiermit stetige fortsetzung zeigen soll ??
gruß noveX
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Hallo,
> > Du musst mithilfe der Regel von l'hospital untersuchen ob
> > die Funktion stetig fortgesetzt werden kann. Also musst du
> > erstmal [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x)
> > mit Hilfe der Regel berechnen. Hier ist g(x) =
> [mm]cos(x^{2})[/mm]
> > - 1 und h(x) = [mm]x^2[/mm]
> > Die Regel von l´hospital besagt : Wenn
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g(x)/h(x) = [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ist ,
> > liefert [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g'(x) / h'(x) den
> > Grenzwert gegen 0. Du musst die Regel hier 2 mal anwenden,
> > als bekommst den Grenzwert von x gegen 0 durch
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g''(x) / h''(x) .
> > Versuch es soweit erstmal alleine und schreib dann was
> du
> > als Ergebnis bekommen hast. Dann wird dir sicherlich weiter
> > geholfen, falls noch weitere Unklarheiten bestehen. Ich
> > kann leider erst wieder um 22Uhr hier eine Antwort
> > schreiben, da ich gleich im Zug sitzen werde.
> > Ich hoffe ich konnt dir helfen, MFG Philipp
>
>
> Jou und mit dem hospital komme ich auf [mm]f(x) = \bruch{2x*(-\sin(x^2))}{2x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und durch das weg kürzen bleibt nur noch [mm]-\sin(x^2)[/mm] übrig
> was einen limes gegen 0 von 0 erzeugt....
>
> nur frage ich mich wie ich hiermit stetige fortsetzung
> zeigen soll ??
Die ist damit gezeigt.
Außerhalb vo0n [mm]x=0[/mm] ist die Funktion als Verkettung stetiger Funktionen stetig.
In [mm]x=0[/mm] selbst ist sie nicht definiert.
Mit der Zusatzdefinition [mm]f(0):=0[/mm] (diesen Wert hast du gerade ausgerechnet) kannst du die Funktion stetig in [mm]x=0[/mm] fortsetzen, so dass diese "erweiterte" Funktion nun auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
>
> gruß noveX
LG
schachuzipus
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