Funktion soll stetig werden? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Di 19.07.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Die folgende Funktion ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht definiert. Lässt sich [mm] $f(x_0)$ [/mm] so festlegen, dass die Funktion f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig wird?
$f(x) = [mm] \frac{2x^2-5x-3}{x^2+x-12}$; $x_0=3$ [/mm] |
Hey Leute!
Ich verstehe irgendwie nicht so ganz was mit der obigen Aufgabe gemeint ist. Kann mir das jemand erklären? Wie muss man da dann weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Di 19.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
es gibt funktionen die an einer bestimmten stelle nicht definiert sind, bei der aber der rechts und linksseitige limes bzgl dieser stelle gleich und endlich ist. d.h. würde man nun die unstetigkeitsstelle auf die beiden grenzwerte setzten erhielte man eine stetige funktion.
genau das sollst du hier prüfen.
wie das gerade bei deiner aufgabe aussieht, kann ich dir aber nicht sagen. du hast im nenner einen tippfehler
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> würde man nun die unstetigkeitsstelle auf die beiden
> grenzwerte setzten
Was bedeutet das ?? Ich verstehe nicht , was Du sagen willst.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 19.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
@fred. sei f(x) an der stelle [mm] x_0 [/mm] unstetig und der rechtsseitige bzw linksseitige grenzwert [mm] f(x_0+) [/mm] und [mm] f(x_0-) [/mm] existiert und sind gleich (sagen wir z). dann setze [mm] f(x_0) [/mm] = z und die unstetigkeit ist behoben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Di 19.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab mich wirklich vertipt. Es tut mir leid. Hier noch mal die Funktion:
$f(x) = [mm] \frac{2x^2-5x-3}{x^2+x-12}$; $x_0=3$
[/mm]
Wenn ich jetzt so nochmal in meinem Skript nachblättere, dann geht das anscheinend so: Man muss erst x von oben gegen das angegebene [mm] $x_0$ [/mm] gehen lassen. Durchgeführt wird das anscheinend mit einem [mm] $\epsilon$, [/mm] dass an [mm] $x_0$ [/mm] ranaddiert wird, wenn x eben von oben kommt.
[mm] $\lim_{x \searrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] \underbrace{\lim_{x \searrow 3} f(x)}_{\text{darf man hier f(3) schreiben?}} [/mm] = [mm] \lim_{\epsilon \searrow 0} \frac{2(3+\epsilon)^2-5(3+\epsilon)-3}{(3+\epsilon)^2+(3+\epsilon)-12} [/mm] = ... = 1$
Nun muss man noch die andere Richtung anschaun. x geht von unten gegen [mm] $x_0$. [/mm] Hier wird dann das [mm] $\epsilon$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] subtrahiert.
[mm] $\lim_{x \nearrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] \underbrace{\lim_{x \nearrow 3} f(x)}_{\text{darf man hier f(3) schreiben?}} [/mm] = [mm] \lim_{\epsilon \searrow 0} \frac{2(3-\epsilon)^2-5(3-\epsilon)-3}{(3-\epsilon)^2+(3-\epsilon)-12} [/mm] = ... = 1$
Jetzt hab ich bei beiden Richtungen den gleichen Grenzwert rausgefunden. Was sagt mir das jetzt? Ist die Funktion $f(3)$ an der Stelle [mm] $x_0=3$ [/mm] stetig? Und was habe ich da nun "festgelegt"? Ich hab doch nur gezeigt, dass die Funktion dennoch bei [mm] $x_0=3$ [/mm] stetig ist! Warum schreibt dann die Aufgabe, dass die Funktion GENAU in diesem Punkt [mm] $x_0$ [/mm] nicht definiert sei? Ist das nur um des Aufgabenwillen weil's sonst keine Aufgabe dieser Form gegeben hätte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Di 19.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich hab mich wirklich vertipt. Es tut mir leid. Hier noch
> mal die Funktion:
>
> [mm]f(x) = \frac{2x^2-5x-3}{x^2+x-12}[/mm]; [mm]x_0=3[/mm]
>
>
> Wenn ich jetzt so nochmal in meinem Skript nachblättere,
> dann geht das anscheinend so: Man muss erst x von oben
> gegen das angegebene [mm]x_0[/mm] gehen lassen. Durchgeführt wird
> das anscheinend mit einem [mm]\epsilon[/mm], dass an [mm]x_0[/mm] ranaddiert
> wird, wenn x eben von oben kommt.
Genau so ist es.
>
> [mm]\lim_{x \searrow x_0} f(x) = \underbrace{\lim_{x \searrow 3} f(x)}_{\text{darf man hier f(3) schreiben?}} = \lim_{\epsilon \searrow 0} \frac{2(3+\epsilon)^2-5(3+\epsilon)-3}{(3+\epsilon)^2+(3+\epsilon)-12} = ... = 1[/mm]
f(3) darf man so nicht schreiben, es ist ja gerade eine Nullstelle des Nenners. Ind in der letzten Schreibweise kannst du auch [mm] \lim_{\epsilon\to0} [/mm] schreiben.
> Nun muss man noch die andere Richtung anschaun. x geht von
> unten gegen [mm]x_0[/mm]. Hier wird dann das [mm]\epsilon[/mm] von [mm]x_0[/mm]
> subtrahiert.
>
> [mm]\lim_{x \nearrow x_0} f(x) = \underbrace{\lim_{x \nearrow 3} f(x)}_{\text{darf man hier f(3) schreiben?}} = \lim_{\epsilon \searrow 0} \frac{2(3-\epsilon)^2-5(3-\epsilon)-3}{(3-\epsilon)^2+(3-\epsilon)-12} = ... = 1[/mm]
>
Hier gilt dasselbe wie oben.
>
> Jetzt hab ich bei beiden Richtungen den gleichen Grenzwert
> rausgefunden. Was sagt mir das jetzt? Ist die Funktion [mm]f(3)[/mm]
> an der Stelle [mm]x_0=3[/mm] stetig?
Stetig fortsetzbar mit [mm] f(3)\red{:=}1
[/mm]
> Und was habe ich da nun
> "festgelegt"? Ich hab doch nur gezeigt, dass die Funktion
> dennoch bei [mm]x_0=3[/mm] stetig ist! Warum schreibt dann die
> Aufgabe, dass die Funktion GENAU in diesem Punkt [mm]x_0[/mm] nicht
> definiert sei? Ist das nur um des Aufgabenwillen weil's
> sonst keine Aufgabe dieser Form gegeben hätte?
Die 3 ist Nullstelle des Nenners. Also ist es erstmal eine Definitionslücke.
Hier könne man aber schreiben:
[mm] f(x)=\frac{2x^{2}-5x-3}{x^{2}+x-12}=\frac{2\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{(x-3)(x+4)}
[/mm]
Jetzt sieht man, dass die 3 eine sogenannte hebbare Definitiosnlücke ist, also könnte man eine neue Funktion definieren, mit:
[mm] g(x)=\frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{x+4}
[/mm]
Hier könnte man auch g(3)=1 bestimmen und mit diesem Wert die Funktion f an der Stelle 3 stetig fortsetzen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 19.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab hier jetzt noch mal eine weitere Funktion:
[mm] $f(x)=\frac{x^2+2}{-x+\sqrt{2}}$; $x_0=\sqrt{2}$
[/mm]
Ich hab es mir so angewohnt, dass ich als erste Richtung immer erst von x von oben gegen [mm] $x_0$ [/mm] gehen lasse. Wenn ich das nun hier mache, komm ich auf das Ergebnis [mm] $-\infty$.
[/mm]
In der Schule haben wir aber "wie von Zauberhand" (woher soll man's wissen?) die andere Richtung, also x gegen [mm] $x_0$ [/mm] von unten gewählt und sind dann auf das Ergebnis [mm] $+\infty$ [/mm] gekommen. Da aber [mm] $+\infty \notin \mathbb [/mm] R$ gilt, ist die Funktion an der Stelle [mm] $x_0=\sqrt{2}$ [/mm] also nicht stetig (was auch schnell deutlich wird, wenn man sich den Graphen zur Funktion ansieht.
Wenn man sich dann nochmal kurz meine Lösung, also [mm] $-\infty$, [/mm] ansieht, könnte man ja genauso argumentieren: Es gilt ebenfalls [mm] $-\infty \notin \mathbb [/mm] R$.
Was ist hier nun richtig? x von oben oder von unten gegen [mm] $x_0$? [/mm] Und wenn nur eins von beiden richtig ist, dann würd ich gern wissen warum 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab hier jetzt noch mal eine weitere Funktion:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^2+2}{-x+\sqrt{2}}[/mm]; [mm]x_0=\sqrt{2}[/mm]
>
> Ich hab es mir so angewohnt, dass ich als erste Richtung
> immer erst von x von oben gegen [mm]x_0[/mm] gehen lasse. Wenn ich
> das nun hier mache, komm ich auf das Ergebnis [mm]-\infty[/mm].
>
>
>
> In der Schule haben wir aber "wie von Zauberhand" (woher
> soll man's wissen?) die andere Richtung, also x gegen [mm]x_0[/mm]
> von unten gewählt und sind dann auf das Ergebnis [mm]+\infty[/mm]
> gekommen. Da aber [mm]+\infty \notin \mathbb R[/mm] gilt, ist die
> Funktion an der Stelle [mm]x_0=\sqrt{2}[/mm] also nicht stetig
Nein. Man kann f in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig fortsetzen !
> (was
> auch schnell deutlich wird, wenn man sich den Graphen zur
> Funktion ansieht.
>
> Wenn man sich dann nochmal kurz meine Lösung, also
> [mm]-\infty[/mm], ansieht, könnte man ja genauso argumentieren: Es
> gilt ebenfalls [mm]-\infty \notin \mathbb R[/mm].
>
>
Ja
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> Was ist hier nun richtig? x von oben oder von unten gegen
> [mm]x_0[/mm]?
Beides !
FRED
Und wenn nur eins von beiden richtig ist, dann würd
> ich gern wissen warum
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