Funktion messbar f >= 0 < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IN \to \IR^{+}_{0} [/mm] eine nicht-negative Funktion. Dann ist f messbar.
Die [mm] \simga [/mm] Algebra auf [mm] \IN [/mm] sei [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] |
Hallo,
Ich glaube ich habe Probleme mit dem Urbildverständnis und konnte mir selber leider nicht helfen.
Ich glaube ich kann hier annehmen, dass die [mm] \simga [/mm] Algebra auf [mm] \IR^{+}_{0} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IR^{+}_{0}) [/mm] ist.
Sei nun also B [mm] \in \mathcal{P}(\IR^{+}_{0}). [/mm] zz [mm] f^{-1}(B) \in \mathcal{P}(\IN).
[/mm]
und [mm] f^{-1}(B) [/mm] = [mm] \{x \in \IN | f(x) \in B \}. [/mm] und nun weiss ich nicht weiter.
Mal ein Beispiel:
f(n) = 2n-1 für alle n [mm] \IN [/mm]
Sei [mm] B=\{1,2,3,4\} [/mm] Dann ist [mm] f^{-1}(B) [/mm] = [mm] \{1,2\}. [/mm]
Das entspricht aber nicht meiner Vorstellung, dass [mm] f(f^{-1}(B))=B [/mm] ist. Liegt es daran, die Abbildung nicht Surjektiv/Bijektiv ist?
Wenn dies so ist, dann ist obrige Aufgabe ja einfach zu lösen, "denn entweder gibt es in dem B Elemente, die von der Funktion "getroffen" werden, dann ist das Urbild eine Teilmenge von [mm] \IN \not= \emptyset [/mm] ; oder es wird kein Element getroffen, dann ist das Urbild die leere Menge"
Aber das erscheint mir merkwürdig, weil mir dann keine nicht-messbare Funktion einfallen mag.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 11.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IN \to \IR^{+}_{0}[/mm] eine nicht-negative Funktion.
> Dann ist f messbar.
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> Die [mm]\simga[/mm] Algebra auf [mm]\IN[/mm] sei [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm]
> Hallo,
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> Ich glaube ich habe Probleme mit dem Urbildverständnis und
> konnte mir selber leider nicht helfen.
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> Ich glaube ich kann hier annehmen, dass die [mm]\simga[/mm] Algebra
> auf [mm]\IR^{+}_{0}[/mm] = [mm]\mathcal{P}(\IR^{+}_{0})[/mm] ist.
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> Sei nun also B [mm]\in \mathcal{P}(\IR^{+}_{0}).[/mm] zz [mm]f^{-1}(B) \in \mathcal{P}(\IN).[/mm]
>
> und [mm]f^{-1}(B)[/mm] = [mm]\{x \in \IN | f(x) \in B \}.[/mm] und nun
> weiss ich nicht weiter.
Es ist piepegal welche [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \IR^{+}_{0} [/mm] zugrunde gelegt ist !!
Es gilt doch immer
[mm] $f^{-1}(B)=\{x \in \IN | f(x) \in B \} \in \mathcal{P}(\IN)$ [/mm] !!!!!
FRED
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> Mal ein Beispiel:
> f(n) = 2n-1 für alle n [mm]\IN[/mm]
> Sei [mm]B=\{1,2,3,4\}[/mm] Dann ist [mm]f^{-1}(B)[/mm] = [mm]\{1,2\}.[/mm]
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> Das entspricht aber nicht meiner Vorstellung, dass
> [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] ist. Liegt es daran, die Abbildung nicht
> Surjektiv/Bijektiv ist?
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> Wenn dies so ist, dann ist obrige Aufgabe ja einfach zu
> lösen, "denn entweder gibt es in dem B Elemente, die von
> der Funktion "getroffen" werden, dann ist das Urbild eine
> Teilmenge von [mm]\IN \not= \emptyset[/mm] ; oder es wird kein
> Element getroffen, dann ist das Urbild die leere Menge"
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> Aber das erscheint mir merkwürdig, weil mir dann keine
> nicht-messbare Funktion einfallen mag.
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Hallo, erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Dann sind doch aber alle Funktionen, f: [mm] \Omega \to \Omega' [/mm] messbar, wenn die [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] ist oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Sa 11.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> Dann sind doch aber alle Funktionen, f: [mm]\Omega \to \Omega'[/mm]
> messbar, wenn die [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\Omega[/mm] die Potenzmenge
> von [mm]\Omega[/mm] ist oder?
So ist es
FRED
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