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Funktion: ln(x): Ableitungen / Aufleitungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 18.10.2006
Autor: DoktorQuagga

Aufgabe
Leiten Sie die Funktion ab...

Die Funktion lautet f(x) = ln(x)
Wie komme ich jetzt jedoch drauf, dass die Ableitung [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist?

Als Überprüfung haben wir folgende Rechnung, die ich auch nicht komplett verstehe:

f(x) = ln(x) [mm] \* [/mm] x - x
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x} \* [/mm] x + ln(x) [mm] \* [/mm] 1 - 1
       = 1 + ln(x) - 1
       = ln(x)

Würde also gerne wissen, warum diese Überprüfung richtig ist...wäre also nett, wenn jemand die Rechenschritte korrekt argumentiert wiedergeben könnte...Vor allem warum f(x) = ln(x) das gleiche ist wie f(x) = ln(x) [mm] \* [/mm] x - x
^^


        
Bezug
Funktion: ln(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 Mi 18.10.2006
Autor: MontBlanc

Hallo,

also ich habe eben mal ein wenig gestöbert und bin auf folgendes gestoßen, ich weiß nicht ob es dir hilft, aber ich will es wenigstens probieren.

Also als Ableitungsregel für Umkehrfunktionen gilt:

[mm] f:x\mapsto [/mm] $f(x)$ habe die Umkehrfunktion [mm] f:y\mapsto [/mm] $f(y)$ (kP wie man den querstrich über das f bekommt ^^).
Für [mm] y_0=f(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0) \not=0 [/mm] gilt: [mm] f'(y_0)=\bruch{1}{f'(x_0)} [/mm] (hier muss wieder ein querstrich über das f)

Bezug
                
Bezug
Funktion: ln(x): Scheinbar Unscheinbares
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mi 18.10.2006
Autor: Stefan-auchLotti

[mm] \text{Tachchen,} [/mm]

[mm] \text{Wollte zwei Sachen nebenbei angemerkt haben:} [/mm]

[mm] \text{Bitte sage nicht 'Aufleitung', da sträuben sich bei jedem mathematikinteressierten alle Haare. Nimm dir die Zeit und nenne es 'Stammfunktion'.} [/mm] [happy]

[mm] \text{Zur Umkehrfunktion: Das ist kein Strich über dem f, sondern steht da:}\quad$f^{-1}$ [/mm]

[mm] \text{Kannst ja mal auf die Formel klicken, um zu gucken, wie man das in den Editor eingibt.} [/mm]

[mm] \text{Schönen Abend,} [/mm]

[mm] \text{Stefan.} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Funktion: ln(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Mi 18.10.2006
Autor: MontBlanc

hallo

nein es ist kein hoch -1 es  ist eindeutig ein querstrich über dem f, ich werde ja meine formelsammlung noch richtig lesen können .

Bezug
                                
Bezug
Funktion: ln(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:03 Mi 18.10.2006
Autor: Herby

Hallo,

es gibt verschiedene Schreibweisen, aber es ist:


[mm] \overline{f'}(x)=(f^{-1})'(x) [/mm]



Liebe Grüße
Herby

Bezug
        
Bezug
Funktion: ln(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mi 18.10.2006
Autor: Herby

Hallo,

zum Einen:


> Leiten Sie die Funktion ab...
>  Die Funktion lautet f(x) = ln(x)
>  Wie komme ich jetzt jedoch drauf, dass die Ableitung
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist?
>  

[mm] f'(x)=[ln(x)]=\bruch{1}{x} [/mm]


die Umkehrfunktion zu ln(x) ist ja [mm] e^x [/mm] , d.h.  [mm] f^{-1}(ln(x))=e^x [/mm]


es gilt:  [mm] f'(x)=\bruch{1}{(f^{-1})'(f(x))}=\bruch{1}{(f^{-1})'(ln(x))}=\bruch{1}{e^{(ln(x))}}=\bruch{1}{x} [/mm]


------------- break -----------------


zum Anderen:

> Als Überprüfung haben wir folgende Rechnung, die ich auch
> nicht komplett verstehe:
>  
> f(x) = ln(x) [mm]\*[/mm] x - x

Funktion f(x)

>  f'(x) = [mm]\bruch{1}{x} \*[/mm] x + ln(x) [mm]\*[/mm] 1 - 1

MBProduktregel


$ (u(x)*v(x))'=u'*v+u*v' $


u=ln(x)  und  u'=1/x

v=x  und   v'=1



> ...Vor allem warum
> f(x) = ln(x) das gleiche ist wie f(x) = ln(x) [mm]\*[/mm] x - x

die Funktionen sind nicht gleich - du hast das Ableitungszeichen unterschlagen.

[mm] f\red{'}(x)=ln(x) [/mm]  

wende die Produktregel an, dann wirst du sicher auf das Ergebnis kommen.



Liebe Grüße
Herby


Bezug
                
Bezug
Funktion: ln(x): THX!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Fr 20.10.2006
Autor: DoktorQuagga

Vielen Dank!


DoktorQuagga

Bezug
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