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| Aufgabe | Konstruieren sie eine stetige Funktion f: (-1,1) [mm] \to \IR, [/mm] die nachfolgenden Forderungen erfüllt:
(a) D(f) = (-1,1) und W(f) = [mm] \IR
[/mm]
(b) Die Funktionswerte sollen ohne Hilfsmittel (Taschenrechner, Computerprogramme etc.) berechenbar sein, d.h. es sind nur die vier Grundrechenarten zugelassen.
(c) Die Funktion soll umkehrbar sein.
(d) f(0)=0
Geben Sie für Ihre Funktion die zugehörige Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] an. |
Ich weiß, dass D(f) := (-1,1) auch gleichzeitig meine Polsetellen markiert.
Sie liegen bei -1 und 1. Genau wie die Asymptoten für die Umkehrfunktion bei -1 und 1 liegen. Außerdem muss es sich bei der Funktion um eine gebrochen rationale Funktion handeln.
Eine Funktion zu finden, welche durch den Ursprung geht ist im Prinzip recht einfach, aber wie konstruiere ich eine Funktion, die innerhalb dieser Polstellen liegt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 16.01.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo,
Ich schlag einfach mal folgendes vor:
[mm] f:(-1,1)\rightarrow\IR
[/mm]
[mm] f(x):=\bruch{x}{(1-x)(1+x)}
[/mm]
Dann solgt sofort
[mm] W(f)=\IR
[/mm]
Grundrechenarten werden auch nur benutzt.
f(0)=0
Umkehrbar isse auch.
Ich glaub das kann man mit Monotonie + Stetigkeit begründen.
Wenn du dich jetzt fragst "Wie kommt der darauf? Das ist ja genial" :D, dann hier meine Gedankengänge.
2 Polstellen, am besten durch -1 und 1. Also schonmal (1-x)(1+x) in den Nenner.
Dann war aber [mm] W(f)=\IR_+, [/mm] also noch ein x oben dran multipliziert.
f(0)=0 hat sich dann automatisch ergeben.
Hoffe ich konnte dir helfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Sa 17.01.2009 | | Autor: | anjali251 |
Ja konntest du, vielen vielen Dank
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