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| Aufgabe | | Konstruieren Sie eine monotone Funktion mit unendlich vielen Sprungstellen so, dass die Summe der Sprunghöhen gleich [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. |
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}h(x_i)=\wurzel{2}
[/mm]
Als Hinweis wurde gesagt wir sollten die geometrische Reihe beachten.
Quasi: welche geometrische Reihe liefert den Grenzwert [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Gemeinsam haben wir dann daran gearbeitet und haben als Ansatz:
[mm] \bruch{1}{1-q}=\wurzel{2} \to [/mm] das müsste man nach q umstellen. Habe ich gemacht:
- [mm] \bruch{1-\wurzel{2}}{\wurzel{2}}=q [/mm]
Ist dieser Ansatz überhaupt richtig und wenn ja, wie mache ich jetzt weiter?
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> Konstruieren Sie eine monotone Funktion mit unendlich
> vielen Sprungstellen so, dass die Summe der Sprunghöhen
> gleich [mm]\wurzel{2}[/mm] ist.
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}h(x_i)=\wurzel{2}[/mm]
>
> Als Hinweis wurde gesagt wir sollten die geometrische Reihe
> beachten.
Wie kann man da vorgehen ?
Ohne dass wir uns an den gegebenen Hinweis
halten: Man kann z.B. festsetzen, dass
[mm] \limes_{x\to -\infty}f(x)=-\wurzel{2}/2 [/mm] und [mm] \limes_{x\to \infty}f(x)=\wurzel{2}/2 [/mm] sein soll.
Dann brauchen wir nur eine Funktion, welche
monoton steigend ist und ebenfalls diese Grenz-
werte hat. Wenn man dann aus dieser Funktion
eine Treppenfunktion macht, ist man am Ziel.
Die Funktion a(x)=arctan(x) hat schon fast
die gewünschten Eigenschaften. Kleine Modi-
fikationen bringen eine mögliche Lösungs-
funktion.
LG al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rwirth |
Man könnte die Funktion auch - wie im Tipp angegeben - mit der geometrischen Reihe konstruieren:
[mm]q =\bruch{1-\wurzel{2}}{\wurzel{2}}[/mm]
und nun definiert man sich die Funktion als
[mm]f(x) = \sum^{floor(x)}_{k=1}q^k[/mm]
wobei $floor(x)$ die größte natürliche Zahl kleiner als $x$ ist.
$f$ ist dann eine Treppenfunktion mit [mm]\lim_{x\to\infty}f(x) = \sqrt{2}[/mm] und unendlich vielen Sprungstellen.
Tschö und gute Nacht,
rwirth
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> Man könnte die Funktion auch - wie im Tipp angegeben - mit
> der geometrischen Reihe konstruieren:
>
> [mm]\red{q =\bruch{1-\wurzel{2}}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> und nun definiert man sich die Funktion als
>
> [mm]f(x) = \sum^{floor(x)}_{k=1}q^k[/mm]
>
> wobei [mm]floor(x)[/mm] die größte natürliche Zahl kleiner als [mm]x[/mm]
> ist.
> [mm]f[/mm] ist dann eine Treppenfunktion mit [mm]\lim_{x\to\infty}f(x) = \sqrt{2}[/mm]
> und unendlich vielen Sprungstellen.
>
> Tschö und gute Nacht,
> rwirth
Dieses vorgeschlagene q ist negativ.
Es sollte wohl heissen: [mm]q =\,-\,\bruch{1-\wurzel{2}}{\wurzel{2}}[/mm] bzw. [mm]q =\bruch{\wurzel{2}-1}{\wurzel{2}}[/mm]
LG
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Also, ich bin aus den bisher genannten Hinweisen nicht wirklich schlau geworden. Habe heute auch noch mal in meinem Mathe-Kurs rumgefragt und leider hatte es dort auch niemand verstanden, sodass mir jegliche Erklärung zu Sprunghöhe fehlt.
Es wäre in diesem fall wirklich super, wenn mir jemand diese Funktion konstruieren könnte und dann auch ausführlich und verständlich erklärt wie genau man letztlich darauf kommt. Welche Schritte gemacht werden.
Bspw. kann ich mit floor(x) überhaupt nichts anfangen. Ich habe diese Schreibweise noch nicht gesehen.
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> Also, ich bin aus den bisher genannten Hinweisen nicht
> wirklich schlau geworden. Habe heute auch noch mal in
> meinem Mathe-Kurs rumgefragt und leider hatte es dort auch
> niemand verstanden, sodass mir jegliche Erklärung zu
> Sprunghöhe fehlt.
>
> Es wäre in diesem fall wirklich super, wenn mir jemand
> diese Funktion konstruieren könnte und dann auch
> ausführlich und verständlich erklärt wie genau man
> letztlich darauf kommt. Welche Schritte gemacht werden.
>
> Bspw. kann ich mit floor(x) überhaupt nichts anfangen. Ich
> habe diese Schreibweise noch nicht gesehen.
floor(x) ist nichts anderes als: x abgerundet
auf die nächstkleinere ganze Zahl. Man schreibt dafür
auch [x] ("Gauß-Klammer"). Das hast du hoffentlich
auch schon angetroffen.
Hallo Anjali,
"Diese" Funktion gibt's gar nicht - es gibt beliebig
viele Funktionen mit den gewünschten Eigenschaften.
Auch unendliche geometrische Reihen mit lauter positiven
Gliedern und der Summe [mm] \wurzel{2} [/mm] gibt es beliebig viele:
Man nehme einen beliebigen Quotienten q mit 0<q<1 und
[mm] a_o=\wurzel{2}*(1-q). [/mm] Dann ist
[mm] a_o+\underbrace{a_o*q}_{a_1}+\underbrace{a_o*q^2}_{a_2}+\underbrace{a_o*q^3}_{a_3}+....
[/mm]
eine solche. Mit [mm] a_o=1 [/mm] kommst du z.B. auf deinen vorher
berechneten Quotienten [mm] q=\bruch{\wurzel{2}-1}{\wurzel{2}} [/mm] .
Um daraus eine Funktion f(x) mit unendlich vielen Sprüngen
zu basteln, kann man so vorgehen, wie rwirth schon vor-
geschlagen hat: Für negative x sei f(x)=0, für [mm] 0\le [/mm] x < 1 sei
[mm] f(x)=a_o, [/mm] für [mm] 1\le [/mm] x < 2 sei [mm] f(x)=a_o+a_1, [/mm] für [mm] 2\le [/mm] x < 3 sei
[mm] f(x)=a_o+a_1+a_2 [/mm] etc.
Für ein positives x wird f(x) also folgendermassen bestimmt:
1.) runde x auf die nächstkleinere ganze Zahl k=floor(x)=[x]
ab
2.) Setze [mm] f(x)=a_o+a_1+....+a_k =\summe_{i=0}^{[x]}a_o*q^{i}
[/mm]
Das Ganze ist nach meiner Meinung wirklich eine Bastelei,
und am Ende hat man eine eher unschöne Formel. Darum
habe ich auch einen anderen Weg, ohne geometrische Reihe
vorgeschlagen. Eine Möglichkeit wäre z.B.:
$\ f(x)\ =\ [mm] \begin{cases} 0 & \mbox{für } x\le 0 \\ \wurzel{2}*\bruch{[x]}{[x]+1} & \mbox{für } x>0 \end{cases}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 20.01.2009 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. [x] habe ich genau so bereits angetroffen. Das hat mir sehr weitergeholfen!
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